Determinar um vetor concomitantemente perpendicular aos vetores \vec{u}+\vec{v} e 2 \vec{v}-\vec{u}, sendo \vec{u}=\vec{\imath}+\vec{\jmath} e \vec{v}=2 \vec{\imath}-\vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor que seja simultaneamente perpendicular aos vetores \vec{u}+\vec{v} e 2\vec{v}-\vec{u}.
Informações dadas:
  • \vec{u}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}.
  • \vec{v}=2\vec{\imath}-\vec{k}.
O objetivo é encontrar um vetor \vec{w} tal que
\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=0 \qquad\text{e}\qquad \vec{w}\cdot(2\vec{v}-\vec{u})=0.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar \vec{u} e \vec{v} em componentes cartesianas. Escreve-se
\vec{u}=(1,1,0), \qquad \vec{v}=(2,0,-1),
onde a convenção é (x,y,z) correspondendo às componentes de \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}.

Passo 3

Calcular explicitamente os vetores aos quais queremos ser perpendiculares:
\vec{u}+\vec{v}=(1,1,0)+(2,0,-1)=(3,1,-1),
2\vec{v}-\vec{u}=2(2,0,-1)-(1,1,0)=(4,0,-2)-(1,1,0)=(3,-1,-2).

Passo 4

Método escolhido (explicação didática): um modo direto de obter um vetor perpendicular a dois vetores em \mathbb{R}^3 é usar o produto vetorial (cross product). Para quaisquer vetores
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto vetorial é definido por
\vec{a}\times\vec{b}=(a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\vec{\imath} + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\,\vec{\jmath} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\vec{k}.
Cada termo é uma combinação das componentes de \vec{a} e \vec{b}: por exemplo, a componente na direção \vec{\imath} é a_2 b_3 - a_3 b_2. Propriedade importante: \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal (perpendicular) a \vec{a} e a \vec{b}. Observação prática: qualquer múltiplo escalar do produto vetorial também é uma solução válida.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao par \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}=(3,1,-1) e \vec{b}=2\vec{v}-\vec{u}=(3,-1,-2).
Calcular componente a componente:
  • componente \vec{\imath}:
a_2 b_3 - a_3 b_2 = 1\cdot(-2) - (-1)\cdot(-1) = -2 - 1 = -3.
  • componente \vec{\jmath}:
a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-1)\cdot 3 - 3\cdot(-2) = -3 + 6 = 3.
  • componente \vec{k}:
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 3\cdot(-1) - 1\cdot 3 = -3 - 3 = -6.
Portanto
(\vec{u}+\vec{v})\times(2\vec{v}-\vec{u})=(-3,\,3,\,-6).

Passo 6

Simplificar o vetor encontrado: (-3,3,-6) tem fator comum 3. Podemos dividir por 3 para obter um vetor mais simples que continua sendo perpendicular aos dois vetores:
(-3,3,-6)=3\cdot(-1,1,-2),
então um vetor conveniente é (-1,1,-2), que em notação vetorial é
-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}.

Passo 7

Verificação por produto escalar (mostrando que realmente é perpendicular a ambos):
  • Com \vec{u}+\vec{v}=(3,1,-1):
(-1,1,-2)\cdot(3,1,-1)=(-1)\cdot3 + 1\cdot1 + (-2)\cdot(-1) = -3 + 1 + 2 = 0.
  • Com 2\vec{v}-\vec{u}=(3,-1,-2):
(-1,1,-2)\cdot(3,-1,-2)=(-1)\cdot3 + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot(-2) = -3 -1 +4 = 0.
Ambos nulos, logo -\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k} é de fato perpendicular aos dois vetores. Lembre-se: qualquer múltiplo escalar desse vetor também serve como resposta.

Resposta

-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}

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