Determine se x=0 é um ponto ordinário, um ponto singular regular, ou um ponto singular irregular. Se for um ponto singular regular, encontre os expoentes da equação diferencial em x=0 :
x(1+x) y^prime prime+2 y^prime+3 x y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x(1+x),y'' + 2,y' + 3x,y = 0
e pede a classificação do ponto x=0 (ordinário, singular regular ou singular irregular). O conteúdo é a análise de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem, e vamos precisar escrever a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
e estudar o comportamento de P(x) e Q(x) em x=0.

Passo 2

Divide-se a equação original por x(1+x) (assumindo xneq0) para obter a forma padrão:
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
com
P(x) = 2x(1+x), Q(x) = 3xx(1+x) = 31+x

Passo 3

Verificamos em x=0 se P(x) e Q(x) são analíticos:
  • P(x) tem polo em x=0, logo não é analítico ali.
  • Q(x) é analítico em x=0.
Portanto x=0 é um ponto singular. Para ver se é regular, checamos
x,P(x) = 21+x, x^2,Q(x) = 3x^21+x,
ambos analíticos em x=0. Logo x=0 é um ponto singular regular.

Passo 4

Calculamos os coeficientes do en-dicial:
a0 = limxto0 x,P(x) = limxto0 21+x = 2, b0 = limxto0 x^2,Q(x) = limxto0 3x^21+x = 0

Passo 5

A equação indicial é
r(r-1) + a0,r + b0 = 0 ;Longrightarrow; r(r-1) + 2r + 0 = 0 ;Longrightarrow; r^2 + r = 0 ;Longrightarrow; r(r+1)=0
Logo os expoentes são
r1 = 0, r2 = -1

Resposta

x=0 é um ponto singular regular.
Os expoentes são r=0 e r=-1.

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