Determinar o vetor gradiente e a diferencial das funções a seguir nos pontos dados.
f(x, y)=e^x cos y; se P(1, pi4).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor gradiente e a diferencial total da função
f(x,y)=e^xcos y
no ponto Pl(1,tfracpi4r). Vamos usar que o gradiente é dado pelas derivadas parciais e que a diferencial satisfaz
df = fx,dx + fy,dy

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=e^xcos y,
temos
fx(x,y)=partialpartial xl(e^xcos yr)=e^xcos y,
fy(x,y)=partialpartial yl(e^xcos yr)=-e^xsin y

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto Pl(1,tfracpi4r). Como cospi4=sinpi4=raiz22, resulta
fxl(1,tfracpi4r)=e^1cdotraiz22=raiz22,e,
fyl(1,tfracpi4r)=-,e^1cdotraiz22=-raiz22,e

Passo 4

Escrever o vetor gradiente no ponto P. Temos
nabla fl(1,tfracpi4r)=l(fx,fyr)l(1,tfracpi4r) =l(tfracraiz22,e,,-tfracraiz22,er)

Passo 5

Formar a diferencial total em P. Substituindo as derivadas parciais em
df = fx,dx + fy,dy
obtém-se
dfl(1,tfracpi4r) =raiz22,e,dx -raiz22,e,dy

Resposta

Gradiente:
nabla fl(1,tfracpi4r) =l(tfracraiz22,e,,-tfracraiz22,er)
Diferencial:
dfl(1,tfracpi4r) =raiz22,e,dx -raiz22,e,dy

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