Encontre duas soluções linearmente independentes em séries de Frobenius (para
) em cada uma das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede as duas soluções linearmente independentes da equação de Frobenius
O conteúdo é método de séries de Frobenius num ponto singular regular (em
).
Passo 2
Dividindo por
escrevemos em forma padrão
onde
Notamos que
e
são analíticos em
, logo
é ponto singular regular.
Passo 3
Assumimos uma solução do tipo
então
Substituindo em
obtém-se
Reagrupando os termos em
(no segundo somatório trocamos
) leva à condição geral
Passo 4
O coeficiente do menor expoente
(termo com
) dá a equação indicial:
Logo as raízes são
que difere por número não inteiro, garantindo duas soluções de Frobenius independentes.
Passo 5
A recorrência geral para
é
ou seja
Para
temos
logo
o que implica que, ao escolher
e
, obtém-se
Para
vem
então
e, escolhendo
e
, obtemos