Encontre duas soluções linearmente independentes em séries de Frobenius (para x>0 ) em cada uma das equações diferenciais abaixo.
6 x^2 y^prime prime+7 x y^prime-(x^2+2) y=0

Passo 1

O enunciado pede as duas soluções linearmente independentes da equação de Frobenius
6x^2y''+7x,y'-(x^2+2)y=0, x>0
O conteúdo é método de séries de Frobenius num ponto singular regular (em x=0).

Passo 2

Dividindo por 6x^2 escrevemos em forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
onde
p(x)=76x, q(x)=-x^2+26x^2=-16-13x^2
Notamos que x,p(x)=7/6 e x^2q(x)=-tfrac16x^2-tfrac13 são analíticos em x=0, logo x=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Assumimos uma solução do tipo
y=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0,
então
y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r-1, y'=sumn=0^inftyan(n+r)x^n+r-1
Substituindo em 6x^2y''+7x,y'-(x^2+2)y=0 obtém-se
6sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r +7sumn=0^inftyan(n+r)x^n+r -sumn=0^inftyanx^n+r+2 -2sumn=0^inftyanx^n+r=0
Reagrupando os termos em x^n+r (no segundo somatório trocamos nto n-2) leva à condição geral
sumn=0^inftyl[6(n+r)(n+r-1)+7(n+r)-2r]an,x^n+r -sumn=2^inftyan-2,x^n+r=0

Passo 4

O coeficiente do menor expoente x^r (termo com n=0) dá a equação indicial:
6r(r-1)+7r-2=0 ;Longrightarrow; 6r^2+r-2=0 ;Longrightarrow; r=-1pmraiz1+4812 =-1pm712
Logo as raízes são
r1=tfrac12, r2=-tfrac23,
que difere por número não inteiro, garantindo duas soluções de Frobenius independentes.

Passo 5

A recorrência geral para n>=2 é
l[6(n+r)^2+(n+r)-2r],an=an-2,
ou seja
an=an-26(n+r)^2+(n+r)-2
Para r=r1=tfrac12 temos
6(n+tfrac12)^2+(n+tfrac12)-2=n(6n+7),
logo
an=an-2n(6n+7),
o que implica que, ao escolher a0neq0 e a1=0, obtém-se
y1=x^1/2l(1+x^22cdot19+x^42cdot19cdot4cdot31+cdotsr)
Para r=r2=-tfrac23 vem
6(n-tfrac23)^2+(n-tfrac23)-2=n(6n-7),
então
an=an-2n(6n-7),
e, escolhendo a0neq0 e a1=0, obtemos
y2=x^-2/3l(1+x^22cdot5+x^42cdot5cdot4cdot17+cdotsr)

Resposta

y1(x)=x^1/2summ=0^inftyx^2mprodk=1^m[2k,(12k+7)],
y2(x)=x^-2/3summ=0^inftyx^2mprodk=1^m[2k,(12k-7)]

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