Determinar o vetor gradiente e a diferencial das funções a seguir nos pontos dados.
z=x^3y; se P(1,4).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor gradiente e a diferencial da função
z = x^3y
no ponto P=(1,4). O conteúdo envolve derivadas parciais e definição de gradiente e de diferencial.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em termos gerais:
partial zpartial x =partialpartial xl(x^3yr) =3x^2y,
partial zpartial y =partialpartial yl(x^3yr) =-,x^3y^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(1,4):
partial zpartial x(1,4) =3cdot1^24 =34,
partial zpartial y(1,4) =-,1^34^2 =-116

Passo 4

O vetor gradiente é dado por
nabla z(1,4) =l(partial zpartial x(1,4),,partial zpartial y(1,4)r) =l(tfrac34,,-tfrac116r)
A diferencial em P é
dz(1,4) =partial zpartial x(1,4),dx +partial zpartial y(1,4),dy =tfrac34,dx-tfrac116,dy

Resposta

nabla z(1,4)=l(tfrac34,,-tfrac116r)
dz(1,4)=tfrac34,dx-tfrac116,dy

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