Encontre duas soluções linearmente independentes em séries de Frobenius (para
) em cada uma das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas soluções linearmente independentes em séries de Frobenius para a equação
no entorno de
. Este é um ponto singular regular, então assumimos uma solução da forma
e encontraremos o indíce
(equação indicial) e a recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Calculamos as derivadas formais:
Substituindo em
obtém-se, após agrupar potências de
, dois conjuntos de termos:
- O termo de menor potência
dá a equação indicial. - Os termos em
para fornecem a relação de recorrência entre e .
Passo 3
Extraindo o coeficiente de
vem
logo as raízes são
Passo 4
Para
, o coeficiente de
leva a
onde
. Como
, a recorrência é
Passo 5
Caso
. Tomando
, a recorrência é
cuja solução fechada é
Portanto a primeira solução é
Passo 6
Caso
. Tomando
, a recorrência fica
cuja solução é
Logo a segunda solução é
Resposta
As duas soluções em séries de Frobenius linearmente independentes são