Encontre duas soluções linearmente independentes em séries de Frobenius (para x>0 ) em cada uma das equações diferenciais abaixo.
2 x y^prime prime+(1+x) y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede duas soluções linearmente independentes em séries de Frobenius para a equação
2x,y''+(1+x),y'+y=0,
no entorno de x=0. Este é um ponto singular regular, então assumimos uma solução da forma
y=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0,
e encontraremos o indíce r (equação indicial) e a recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Calculamos as derivadas formais:
y'=sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r-1,
y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1),x^n+r-2
Substituindo em
2x,y''+(1+x),y'+y=0
obtém-se, após agrupar potências de x, dois conjuntos de termos:
  1. O termo de menor potência x^r-1 dá a equação indicial.
  2. Os termos em x^n+r para n>=0 fornecem a relação de recorrência entre an+1 e an.

Passo 3

Extraindo o coeficiente de x^r-1 vem
2r(r-1)+r=0Longrightarrow r,(2r-1)=0
logo as raízes são
r1=0, r2=tfrac12

Passo 4

Para n>=0, o coeficiente de x^n+r leva a
(m+r+1)l[(2m+2r+1),am+1+amr]=0,
onde m=n. Como m+r+1neq0, a recorrência é
an+1=-an2n+2r+1,, n>=0

Passo 5

Caso r=r1=0. Tomando a0=1, a recorrência é
an+1=-an2n+1,
cuja solução fechada é
an=(-1)^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(-1)^n(2n-1)!!
Portanto a primeira solução é
y1(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n-1)!!,x^n =1 - x + x^23-x^33cdot5+cdots

Passo 6

Caso r=r2=tfrac12. Tomando a0=1, a recorrência fica
an+1=-an2n+2=-an2(n+1),
cuja solução é
an=(-1)^n2^n,n!
Logo a segunda solução é
y2(x) =x^tfrac12sumn=0^infty(-1)^n2^n,n!,x^n =x^tfrac12,e^-x/2

Resposta

As duas soluções em séries de Frobenius linearmente independentes são
y1(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n-1)!!,x^n, y2(x)=x^tfrac12sumn=0^infty(-1)^n2^n,n!,x^n =x^tfrac12e^-x/2

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