Determinar o vetor gradiente das seguintes funçōes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o vetor gradiente da função dada. As informações relevantes são:
A função é .
O que precisamos encontrar são as três derivadas parciais ,
e
, que juntas formam o vetor gradiente
.
A função é
O que precisamos encontrar são as três derivadas parciais
Passo 2
O que é o vetor gradiente e como ele se monta (explicação didática e amigável):
O vetor gradiente de uma função de três variáveis é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais em relação a cada variável. Em notação,
O vetor gradiente de uma função de três variáveis
Derivada parcial significa derivar a função em relação a uma variável mantendo as outras constantes — por exemplo, ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes. Usamos as regras usuais de derivação (regra do produto e da potência). Um exemplo simples: se
, então
porque
é constante ao derivar em
.
Passo 3
Calcular
:
Escrevemos como produto onde
é constante ao derivar por
:
Escrevemos
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso e multiplicando pelos fatores constantes:
Passo 4
Calcular
:
Agora tratamos e
como constantes e vemos
como
Agora tratamos
A derivada de
em relação a
é
. Portanto
Passo 5
Calcular
:
Aqui e
são constantes e
é linear em
:
Aqui
A derivada de
em relação a
é
, então
Passo 6
Montar o vetor gradiente agrupando as componentes encontradas e, se quiser, fatorar um fator comum para ficar mais bonito: as componentes são
Fatorando
em comum obtemos uma forma alternativa: