Determinar o vetor gradiente das seguintes funçōes:
w=2 x^{2} y^{5} z

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor gradiente da função dada. As informações relevantes são:
A função é w = 2 x^{2} y^{5} z.
O que precisamos encontrar são as três derivadas parciais \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y} e \frac{\partial w}{\partial z}, que juntas formam o vetor gradiente \nabla w.

Passo 2

O que é o vetor gradiente e como ele se monta (explicação didática e amigável):
O vetor gradiente de uma função de três variáveis w(x,y,z) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais em relação a cada variável. Em notação,
\nabla w = \left(\frac{\partial w}{\partial x},\;\frac{\partial w}{\partial y},\;\frac{\partial w}{\partial z}\right).
Derivada parcial significa derivar a função em relação a uma variável mantendo as outras constantes — por exemplo, ao derivar em relação a x tratamos y e z como constantes. Usamos as regras usuais de derivação (regra do produto e da potência). Um exemplo simples: se f(x,y)=x^2 y, então \frac{\partial f}{\partial x}=2x y porque y é constante ao derivar em x.

Passo 3

Calcular \frac{\partial w}{\partial x}:
Escrevemos w como produto onde y^{5}z é constante ao derivar por x:
w = 2\bigl(x^{2}\bigr)\bigl(y^{5}z\bigr).
A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Aplicando isso e multiplicando pelos fatores constantes:
\frac{\partial w}{\partial x} = 2\cdot (2x)\cdot y^{5} z = 4 x y^{5} z.

Passo 4

Calcular \frac{\partial w}{\partial y}:
Agora tratamos x e z como constantes e vemos w como
w = 2 x^{2} z \cdot y^{5}.
A derivada de y^{5} em relação a y é 5 y^{4}. Portanto
\frac{\partial w}{\partial y} = 2 x^{2} z \cdot (5 y^{4}) = 10 x^{2} y^{4} z.

Passo 5

Calcular \frac{\partial w}{\partial z}:
Aqui x e y são constantes e w é linear em z:
w = \bigl(2 x^{2} y^{5}\bigr)\cdot z.
A derivada de z em relação a z é 1, então
\frac{\partial w}{\partial z} = 2 x^{2} y^{5}.

Passo 6

Montar o vetor gradiente agrupando as componentes encontradas e, se quiser, fatorar um fator comum para ficar mais bonito: as componentes são
\frac{\partial w}{\partial x} = 4 x y^{5} z,\qquad \frac{\partial w}{\partial y} = 10 x^{2} y^{4} z,\qquad \frac{\partial w}{\partial z} = 2 x^{2} y^{5}.
Fatorando 2 x y^{4} em comum obtemos uma forma alternativa:
\nabla w = 2 x y^{4}\bigl(2 y z,\;5 x z,\;x y\bigr).

Resposta

\nabla w = \left(4 x y^{5} z,\;10 x^{2} y^{4} z,\;2 x^{2} y^{5}\right)

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