Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v = (1,-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar um vetor que tenha módulo (ou comprimento) igual a 5 e que seja paralelo ao vetor $ \mathbf{v} = (1, -1, 2) $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores paralelos e como ajustar o comprimento de um vetor mantendo a direção. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e um pouco de matemática básica para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o módulo do vetor $ \mathbf{v} $. O módulo de um vetor $ \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) $ é dado pela fórmula:
v
Aplicando os valores do vetor $ \mathbf{v} = (1, -1, 2) $:
v = (vx, vy, vz)

Passo 3

Agora que temos o módulo de $ \mathbf{v} $, vamos achar o fator de escala necessário para ajustar o módulo de $ \mathbf{v} $ para 5. Se chamarmos esse fator de $ k $, então o módulo do vetor escalado $ \mathbf{u} = k \mathbf{v} $ será:
v
Substituindo $ |\mathbf{v}| = \sqrt{6} $:
v
Como queremos que $ \mathbf{u} $ seja paralelo a $ \mathbf{v} $, $ k $ deve ser positivo. Então:
k

Passo 4

Finalmente, vamos determinar o vetor $ \mathbf{u} $ multiplicando cada componente de $ \mathbf{v} $ por $ k $:
u
Podemos racionalizar os denominadores para deixar mais bonito:
v

Resposta

Um vetor paralelo a $ \mathbf{v} = (1, -1, 2) $ com módulo igual a 5 é:
v = (1, -1, 2)

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