Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v = (1,-1,2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar um vetor que tenha módulo (ou comprimento) igual a 5 e que seja paralelo ao vetor $ \mathbf{v} = (1, -1, 2) $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores paralelos e como ajustar o comprimento de um vetor mantendo a direção. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e um pouco de matemática básica para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o módulo do vetor $ \mathbf{v} $. O módulo de um vetor $ \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) $ é dado pela fórmula:
Aplicando os valores do vetor $ \mathbf{v} = (1, -1, 2) $:
Passo 3
Agora que temos o módulo de $ \mathbf{v} $, vamos achar o fator de escala necessário para ajustar o módulo de $ \mathbf{v} $ para 5. Se chamarmos esse fator de $ k $, então o módulo do vetor escalado $ \mathbf{u} = k \mathbf{v} $ será:
Substituindo $ |\mathbf{v}| = \sqrt{6} $:
Como queremos que $ \mathbf{u} $ seja paralelo a $ \mathbf{v} $, $ k $ deve ser positivo. Então:
Passo 4
Finalmente, vamos determinar o vetor $ \mathbf{u} $ multiplicando cada componente de $ \mathbf{v} $ por $ k $:
Podemos racionalizar os denominadores para deixar mais bonito:
Resposta
Um vetor paralelo a $ \mathbf{v} = (1, -1, 2) $ com módulo igual a 5 é: