Determinar o vetor v ortogonal ao eixo OZ, que satisfaz as condições v cdot v1=10 e v cdot v2=-5 sendo v1=(2,3,-1) e v2=(1,-1,2) e que v forma um ângulo agudo com o vetor j

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec v=(x,y,z) que seja ortogonal ao eixo OZ, satisfaz
vec vcdotvec v1=10, vec vcdotvec v2=-5
com vec v1=(2,3,-1) e vec v2=(1,-1,2), e que forme ângulo agudo com vec jmath=(0,1,0). Para ser ortogonal ao eixo OZ, basta ter vec vcdot(0,0,1)=0, ou seja z=0.

Passo 2

Como z=0, escrevemos vec v=(x,y,0). Então
vec vcdotvec v1=2x+3y=10,
vec vcdotvec v2=x - y=-5

Passo 3

Do segundo, x - y=-5implies x=y-5. Substituindo em 2x+3y=10:
2(y-5)+3y=10 Longrightarrow 5y-10=10 Longrightarrow y=4,
x=y-5=4-5=-1

Passo 4

Ficou vec v=(-1,4,0). Para ver que o ângulo com vec jmath é agudo, calculamos
vec vcdotvec jmath=(-1,4,0)cdot(0,1,0)=4>0,
ou seja, cosseno positivo e ângulo menor que 90^circ.

Resposta

vec v =(-1,,4,,0)

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