Uma escada de 10 m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a extremedade inferior da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de 0.5 m / s, com que velocidade o topo da escada percorrerá a parede, quando a extremidade superior estiver a 6 m do solo?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma escada de 10 m apoiada numa parede vertical. A extremidade inferior desliza horizontalmente com velocidade constante dxdt=0,5 m/s. Precisamos achar a velocidade dydt com que a extremidade superior (no ponto y) se desloca verticalmente, no instante em que y=6 m.

Passo 2

Relação geométrica (Teorema de Pitágoras) entre a distância da base ao muro x, a altura y e o comprimento da escada L=10:
x^2 + y^2 = 10^2

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a t:
2xdxdt ;+;2ydydt ;=;0
Isolando dydt:
dydt ;=; -,xy,dxdt

Passo 4

Quando y=6 m, calcula-se
x = raiz10^2 - 6^2 = raiz100 - 36 = 8 m

Passo 5

Substituindo x=8 m, y=6 m e dxdt=0,5 m/s em dydt = -xydxdt:
dydt = -,86times 0,5 = -,43times 0,5 = -,23m/s

Resposta

dydt = -,tfrac23,m/s,
ou seja, o topo desce com velocidade de 0,67 m/s.

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