Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de
, enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área constante de
. a) Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimento do lado que aumenta é de 20 cm ? b) Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetro deixar de diminuir?
Passo 1
O enunciado descreve um retângulo cujos lados medidos por
e
variam com o tempo de modo que a área permanece constante em
Sabemos que
e que
. Vamos usar derivação implícita para relacionar
, depois obter
onde
Passo 2
Derivando
em relação ao tempo
, obtemos
(porque
é constante). Logo
Passo 3
O perímetro é
. Derivando em
:
Passo 4
Como
, substituímos em
:
Passo 5
(a) Quando
,
Isso significa que, nessa situação, o perímetro está aumentando a
.
Passo 6
(b) O perímetro deixa de diminuir exatamente quando
. Da fórmula
Então
Nesse instante, o retângulo é um quadrado de lados
.
Resposta
(a)
(perímetro aumenta a
).
(b) As dimensões são .
(b) As dimensões são