Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de 4 cm / s, enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área constante de 100 cm^2. a) Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimento do lado que aumenta é de 20 cm ? b) Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetro deixar de diminuir?

Passo 1

O enunciado descreve um retângulo cujos lados medidos por (x) e (y) variam com o tempo de modo que a área permanece constante em
A = x y = 100;cm^2
Sabemos que tfracdxdt=4;cm/s e que tfracdydt<0. Vamos usar derivação implícita para relacionar tfracdydt, depois obter tfracdPdt onde
P = 2x + 2y

Passo 2

Derivando A = x,y em relação ao tempo t, obtemos
ddt(x,y) = x,dydt + y,dxdt = 0
(porque A é constante). Logo
x,dydt + ycdot4 = 0 Longrightarrow dydt = -4,yx

Passo 3

O perímetro é P=2x+2y. Derivando em t:
dPdt = 2,dxdt + 2,dydt = 2cdot4 + 2cdotl(-4,yxr) = 8 - 8,yx

Passo 4

Como y = tfrac100x, substituímos em tfracdPdt:
dPdt = 8 - 8,100/xx = 8 - 800x^2

Passo 5

(a) Quando x=20;cm,
dPdt = 8 - 80020^2 = 8 - 800400 = 8 - 2 = 6;cm/s
Isso significa que, nessa situação, o perímetro está aumentando a 6;cm/s.

Passo 6

(b) O perímetro deixa de diminuir exatamente quando tfracdPdt=0. Da fórmula
0 = 8 - 800x^2 Longrightarrow x^2 = 8008 = 100 Longrightarrow x = 10;cm
Então
y = 100x = 10010 = 10;cm
Nesse instante, o retângulo é um quadrado de lados 10;cm.

Resposta

(a) dPdt=6;cm/s (perímetro aumenta a 6;cm/s).
(b) As dimensões são 10;cmtimes10;cm.

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