3)- Determinar o vetor solução do sistema:
\left\{\begin{array}{l} (1+i) x_{1}+i x_{2}+x_{3}=1+4 i \\\\ -x_{1}-2 i x_{2}+(1+2 i) x_{3}=-1-2 i \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=4-i \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor solução do sistema linear com coeficientes complexos. As três equações dadas são:
\begin{cases} (1+i)x_{1}+i x_{2}+x_{3}=1+4i,\\[4pt] - x_{1}-2i x_{2}+(1+2i)x_{3}=-1-2i,\\[4pt] 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=4-i. \end{cases}
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • São três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3} e três equações (sistema quadrado).
  • Os coeficientes e os termos independentes são números complexos.
  • O objetivo é encontrar o vetor solução (x_{1},x_{2},x_{3})^{T}.]

Passo 2

Estratégia escolhida: usar eliminação de Gauss (escalações e combinações lineares de linhas) para triangularizar a matriz aumentada e depois fazer substituição retroativa. Observação didática rápida sobre operações com números complexos:
  • Para anular um elemento numa linha usaremos combinações lineares das linhas; os fatores serão números complexos.
  • Para dividir por um número complexo a+bi utiliza-se multiplicação pelo conjugado e a identidade (a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.
Escrevo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1+i & i & 1 & 1+4i\\[4pt] -1 & -2i & 1+2i & -1-2i\\[4pt] 2 & 2 & -1 & 4-i \end{array}\right].]

Passo 3

Zerar o primeiro elemento das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Para anular o coeficiente de x_{1} na linha 2: resolver -1 + \alpha(1+i)=0 \alpha=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{2}. Faço R_{2}\leftarrow R_{2}+\dfrac{1-i}{2}R_{1}.
Cálculos (cada entrada da linha 2):
  • Novo coeficiente de x_{2}:
-2i+\frac{1-i}{2}\cdot i = -2i + \frac{(1-i)i}{2} = -2i + \frac{1+i}{2} = \frac{1-3i}{2}.
  • Novo coeficiente de x_{3}:
1+2i + \frac{1-i}{2}\cdot 1 = \frac{2(1+2i)+(1-i)}{2} = \frac{3+3i}{2}.
  • Novo termo independente:
-1-2i + \frac{1-i}{2}(1+4i) = -1-2i + \frac{5+3i}{2} = \frac{3-i}{2}.
Para evitar frações, multiplico a nova linha 2 por 2 (operação permitida): obtenho
R_{2} = [\,0,\;1-3i,\;3+3i\;|\;3-i\,].
Agora anular o coeficiente de x_{1} na linha 3: resolver 2 + \beta(1+i)=0 \beta=-\dfrac{2}{1+i}=-1+i. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+(-1+i)R_{1}.
Cálculos (linha 3):
  • Novo coeficiente de x_{2}:
2 + (-1+i)\,i = 2 - i + i^{2} = 1 - i.
  • Novo coeficiente de x_{3}:
-1 + (-1+i)\cdot 1 = -2 + i.
  • Novo termo independente:
4-i + (-1+i)(1+4i) = 4-i + (-5-3i) = -1-4i.
A matriz após essas operações fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1+i & i & 1 & 1+4i\\[4pt] 0 & 1-3i & 3+3i & 3-i\\[4pt] 0 & 1-i & -2+i & -1-4i \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar o coeficiente de x_{2} na linha 3 usando a linha 2 como pivô.
O multiplicador é
m=\frac{1-i}{1-3i}.
Calcule m multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
m=\frac{(1-i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\frac{4+2i}{10}=\frac{2+i}{5}.
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-m\,R_{2}. Cálculos:
  • Coeficiente de x_{3} na nova linha 3:
-2+i - m(3+3i) = -2+i - \frac{2+i}{5}(3+3i).
Calculo intermediário
(2+i)(3+3i)=3+9i \quad\Rightarrow\quad \frac{3+9i}{5}.
Portanto
-2+i - \frac{3+9i}{5} = \frac{-10+5i -3 -9i}{5}=\frac{-13-4i}{5}.
  • Termo independente da nova linha 3:
-1-4i - m(3-i) = -1-4i - \frac{2+i}{5}(3-i).
Calculo intermédio
(2+i)(3-i)=7+i \quad\Rightarrow\quad \frac{7+i}{5}.
Então
-1-4i - \frac{7+i}{5} = \frac{-5-20i -7 - i}{5}=\frac{-12-21i}{5}.
Multiplicando a nova linha 3 por 5 para eliminar denominadores, obtemos a forma triangular final:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1+i & i & 1 & 1+4i\\[4pt] 0 & 1-3i & 3+3i & 3-i\\[4pt] 0 & 0 & -13-4i & -12-21i \end{array}\right].]

Passo 5

Resolver por substituição retroativa a partir da última equação.
Da terceira linha:
(-13-4i)\,x_{3} = -12-21i.
Note que ambos lados têm sinal negativo; simplifica escrever
x_{3}=\frac{-12-21i}{-13-4i}=\frac{12+21i}{13+4i}.
Divido complexos multiplicando pelo conjugado do denominador:
x_{3}=\frac{(12+21i)(13-4i)}{13^{2}+4^{2}} =\frac{240+225i}{185}.
Simplificando por 5:
x_{3}=\frac{48+45i}{37}.
Portanto
x_{3}=\frac{48}{37}+\frac{45}{37}i.

Passo 6

Usar a segunda equação (linha 2) para encontrar x_{2}:
(1-3i)\,x_{2}+(3+3i)\,x_{3}=3-i.
Isolo x_{2}:
x_{2}=\frac{3-i-(3+3i)x_{3}}{1-3i}.
Substituo x_{3}=\dfrac{48+45i}{37} e calculo:
(3+3i)\left(\frac{48+45i}{37}\right)=\frac{9+279i}{37}.
Então o numerador fica
3-i-\frac{9+279i}{37}=\frac{102-316i}{37}.
Logo
x_{2}=\frac{102-316i}{37(1-3i)}.
Multiplicando numerador e denominador por 1+3i:
x_{2}=\frac{(102-316i)(1+3i)}{37\cdot 10} =\frac{1050-10i}{370}.
Simplificando por 10:
x_{2}=\frac{105-i}{37}.
Portanto
x_{2}=\frac{105}{37}-\frac{1}{37}i.

Passo 7

Finalmente, uso a primeira equação para obter x_{1}:
(1+i)x_{1}+i x_{2}+x_{3}=1+4i.
Isolo x_{1}:
x_{1}=\frac{1+4i - i x_{2}-x_{3}}{1+i}.
Calculo i x_{2} e somo com x_{3} (todos com denominador 37):
i x_{2}=i\left(\frac{105}{37}-\frac{1}{37}i\right)=\frac{1+105i}{37}, \qquad x_{3}=\frac{48+45i}{37}.
Logo o numerador:
1+4i - \frac{1+105i}{37} - \frac{48+45i}{37} = \frac{37(1+4i)-(1+105i)-(48+45i)}{37} = \frac{-12-2i}{37}.
Portanto
x_{1}=\frac{-12-2i}{37(1+i)}.
Multiplico por conjugado 1-i:
x_{1}=\frac{(-12-2i)(1-i)}{37\cdot 2} =\frac{-14+10i}{74} =\frac{-7+5i}{37}.
Assim
x_{1}=-\frac{7}{37}+\frac{5}{37}i.

Passo 8

Resumo dos resultados (confirmação rápida mental): ao recompor na terceira equação obtém-se 4-i, então a solução está consistente.

Resposta

\displaystyle x_{1}=-\frac{7}{37}+\frac{5}{37}i
\displaystyle x_{2}=\frac{105}{37}-\frac{1}{37}i
\displaystyle x_{3}=\frac{48}{37}+\frac{45}{37}i

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