Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações:
c) x^{(0)}=(1,3,1,3), \epsilon<10^{-2} e \left\{\begin{array}{rll}5 x_{1} & -x_{2} & +2 x_{3}-x_{4}=5 \\\ x_{1} & +9 x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}=26 \\\ & 3 x_{2}-7 x_{3}+2 x_{4}=-7 \\\\ -2 x_{1}+2 x_{2} & -3 x_{3}+10 x_{4}=33\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Gauss–Seidel o sistema
\begin{cases} 5x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=5,\\[6pt] x_{1}+9x_{2}-3x_{3}+4x_{4}=26,\\[6pt] 3x_{2}-7x_{3}+2x_{4}=-7,\\[6pt] -2x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+10x_{4}=33, \end{cases}
com chute inicial \mathbf{x}^{(0)}=(1,3,1,3), tolerância \epsilon<10^{-2} e até 10 iterações.
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel, convergência por dominância diagonal e critério de parada pelo erro.]

Passo 2

Para garantir convergência verificamos a dominância das diagonais: \lvert5\rvert>1+2+1, \lvert9\rvert>1+3+4, \lvert-7\rvert>0+3+2, \lvert10\rvert>2+2+3.
Como todas as desigualdades valem, podemos usar Gauss–Seidel com garantia de convergência.

Passo 3

Isolando cada x_i em sua equação, obtemos as fórmulas de iteração:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(5 + x_{2}^{(k)} - 2\cdot x_{3}^{(k)} + x_{4}^{(k)}\bigr)
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{9}\bigl(26 - x_{1}^{(k+1)} + 3\cdot x_{3}^{(k)} - 4\cdot x_{4}^{(k)}\bigr)
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{7}\bigl(7 + 3\cdot x_{2}^{(k+1)} + 2\cdot x_{4}^{(k)}\bigr)
x_{4}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(33 + 2\cdot x_{1}^{(k+1)} - 2\cdot x_{2}^{(k+1)} + 3\cdot x_{3}^{(k+1)}\bigr)

Passo 4

Computamos as duas primeiras iterações:
No primeiro ciclo k=0\to1, com \mathbf{x}^{(0)}=(1,3,1,3):
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{5}(5+3-2\cdot1+3)=1,8,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{1}{9}(26-1,8+3\cdot1-4\cdot3)\approx1,6889,
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{7}(7+3\cdot1,6889+2\cdot3)\approx2,58096,\quad x_{4}^{(1)}=\frac{1}{10}(33+2\cdot1,8-2\cdot1,6889+3\cdot2,58096)\approx4,09651.
No segundo ciclo k=1\to2, usando \mathbf{x}^{(1)}:
x_{1}^{(2)}\approx1,1247,\quad x_{2}^{(2)}\approx1,8035,\quad x_{3}^{(2)}\approx2,9434,\quad x_{4}^{(2)}\approx4,04726.

Passo 5

Continuando até a convergência (erro abaixo de 10^{-2}), obtemos:
\mathbf{x}^{(3)}\approx(0,9928;\,1,9610;\,2,9968;\,4,0054),
\mathbf{x}^{(4)}\approx(0,9946;\,1,9971;\,3,0003;\,3,9996),
\mathbf{x}^{(5)}\approx(0,9992;\,2,0004;\,3,0000;\,3,9998),
\mathbf{x}^{(6)}\approx(1,0000;\,2,0001;\,3,0000;\,3,9999).
Calculando o erro infinito
\|\mathbf{x}^{(6)}-\mathbf{x}^{(5)}\|_{\infty} =\max\{0,0008,0,0003,0,0000,0,0002\}=0,0008<10^{-2},
atingimos a tolerância em 6 iterações.

Resposta

\mathbf{x}\approx(1,00;\,2,00;\,3,00;\,4,00), em 6 iterações.

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