Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor v = (2,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver um exercício de álgebra linear, especificamente sobre vetores. O objetivo é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal ao vetor dado $ \mathbf{v} = (2, -1, 1) $. Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa ser ortogonal e como normalizar um vetor para que ele seja unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se temos um vetor $ \mathbf{w} = (a, b, c) $ que é ortogonal a $ \mathbf{v} $, então:
w = (a, b, c)
Vamos calcular isso:
v

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ que satisfazem essa equação. Como temos três variáveis e apenas uma equação, podemos atribuir valores arbitrários a duas delas e resolver para a terceira.
Vamos, por exemplo, escolher $ a = 1 $ e $ b = 0 $. Substituindo na equação:
a
Então, um vetor ortogonal a $ \mathbf{v} $ é $ \mathbf{w} = (1, 0, -2) $.

Passo 4

Agora, queremos que esse vetor seja unitário, ou seja, que tenha comprimento 1. Para isso, precisamos normalizar o vetor $ \mathbf{w} $.
Primeiro, calculamos o módulo de $ \mathbf{w} $:
w

Passo 5

Para normalizar o vetor, dividimos cada componente dele pelo seu módulo:
u = ( 1raiz5, 0raiz5, -2raiz5 )
Então, $ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, 0, \frac{-2}{\sqrt{5}} \right) $ é o vetor unitário ortogonal a $ \mathbf{v} $.

Resposta

Um vetor unitário ortogonal a $ \mathbf{v} = (2, -1, 1) $ é:
v = (2, -1, 1)

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