Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor v = (2,-1,1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver um exercício de álgebra linear, especificamente sobre vetores. O objetivo é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal ao vetor dado $ \mathbf{v} = (2, -1, 1) $. Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa ser ortogonal e como normalizar um vetor para que ele seja unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se temos um vetor $ \mathbf{w} = (a, b, c) $ que é ortogonal a $ \mathbf{v} $, então:
Vamos calcular isso:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ que satisfazem essa equação. Como temos três variáveis e apenas uma equação, podemos atribuir valores arbitrários a duas delas e resolver para a terceira.
Vamos, por exemplo, escolher $ a = 1 $ e $ b = 0 $. Substituindo na equação:
Então, um vetor ortogonal a $ \mathbf{v} $ é $ \mathbf{w} = (1, 0, -2) $.
Passo 4
Agora, queremos que esse vetor seja unitário, ou seja, que tenha comprimento 1. Para isso, precisamos normalizar o vetor $ \mathbf{w} $.
Primeiro, calculamos o módulo de $ \mathbf{w} $:
Passo 5
Para normalizar o vetor, dividimos cada componente dele pelo seu módulo:
Então, $ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, 0, \frac{-2}{\sqrt{5}} \right) $ é o vetor unitário ortogonal a $ \mathbf{v} $.
Resposta
Um vetor unitário ortogonal a $ \mathbf{v} = (2, -1, 1) $ é: