Determinar o vetor v,paralelo ao vetor u=(2,-1,3),tal que u.v=-42

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre produtos escalares de vetores. A gente precisa encontrar um vetor v que seja paralelo ao vetor u = (2, -1, 3) e que satisfaça a condição do produto escalar u · v = -42. Para isso, vamos usar algumas propriedades dos vetores paralelos e do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, como v é paralelo a u, isso significa que v é um múltiplo escalar de u. Ou seja, podemos escrever v como:
v = k cdot u
onde k é um número real que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar u · v usando a expressão que encontramos para v:
u cdot v = u cdot (k cdot u) = k cdot (u cdot u)
Isso porque o produto escalar é distributivo em relação à multiplicação por escalar.

Passo 4

Sabemos que u · v = -42, então podemos igualar:
k cdot (u cdot u) = -42
Para encontrar k, precisamos calcular u · u.

Passo 5

Calculando u · u, temos:
u cdot u = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 = 4 + 1 + 9 = 14

Passo 6

Substituindo u · u = 14 na equação anterior:
k cdot 14 = -42
Para encontrar k, dividimos ambos os lados por 14:
k = -4214 = -3

Passo 7

Agora que temos o valor de k, podemos encontrar v:
v = k cdot u = -3 cdot (2, -1, 3) = (-6, 3, -9)

Resposta

O vetor v que satisfaz as condições é v = (-6, 3, -9).

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