Determinar o vetor v,paralelo ao vetor u=(2,-1,3),tal que u.v=-42
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre produtos escalares de vetores. A gente precisa encontrar um vetor v que seja paralelo ao vetor u = (2, -1, 3) e que satisfaça a condição do produto escalar u · v = -42. Para isso, vamos usar algumas propriedades dos vetores paralelos e do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, como v é paralelo a u, isso significa que v é um múltiplo escalar de u. Ou seja, podemos escrever v como:
onde k é um número real que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar u · v usando a expressão que encontramos para v:
Isso porque o produto escalar é distributivo em relação à multiplicação por escalar.
Passo 4
Sabemos que u · v = -42, então podemos igualar:
Para encontrar k, precisamos calcular u · u.
Passo 5
Calculando u · u, temos:
Passo 6
Substituindo u · u = 14 na equação anterior:
Para encontrar k, dividimos ambos os lados por 14:
Passo 7
Agora que temos o valor de k, podemos encontrar v:
Resposta
O vetor v que satisfaz as condições é v = (-6, 3, -9).