Identificar e esboçar o gráfico das superfícies a seguir, utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede para identificar a superfície e esboçar o seu gráfico usando os traços nos planos coordenados e em planos paralelos aos coordenados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície é definida pela equação acima, envolvendo termos quadráticos em
e e termo linear em . - Não há outros dados numéricos além dos coeficientes já presentes na equação.
- As tarefas concretas são: (i) identificar o tipo de superfície; (ii) obter os traços (interseções) com os planos coordenados
, , e com planos paralelos (por exemplo constante, constante, constante); (iii) usar esses traços para esboçar o gráfico.
Passo 2
Isolar
para enxergar a forma da superfície. Parto da equação dada:
Somando
e subtraindo
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Explicando a ideia: escrever a equação na forma
ajuda a reconhecer superfícies quadráticas. Aqui os coeficientes dos termos quadráticos são negativos (
e
), o que indica que, ao variar
e
,
diminui a partir de um ponto máximo. Isso caracteriza um paraboloide elíptico com concavidade voltada para baixo.
Passo 3
Determinar o vértice e a região onde há pontos reais. O vértice ocorre quando os termos quadráticos são zero, isto é
e
. Substituindo:
Logo o vértice é o ponto
.
Para planos horizontais (traços paralelos ao plano
) a equação torna-se
Para planos horizontais
- Se
então e a interseção é uma elipse. - Se
então e a interseção reduz-se ao ponto (vértice). - Se
então e não há interseção real.
Portanto as seções horizontais são elipses de tamanhos decrescentes à medida que
se aproxima de
, terminando no vértice em
. Isso confirma o formato de paraboloide elíptico voltado para baixo, ilustração mental: elipses empilhadas, maiores embaixo e encolhendo até um ponto no topo.
Passo 4
Calcular explicitamente o traço no plano
(plano
), útil para o esboço:
Substituindo na equação original:
Substituindo
Colocando em forma de elipse normalizada:
Isso mostra que a elipse em
tem semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
. Em pontos notáveis: interseções com eixos do plano
:
- Interseção com eixo
( ): . - Interseção com eixo
( ): .
Incentivo rápido: marque esses quatro pontos no plano
para desenhar a elipse central do esboço.
Passo 5
Traços nos planos coordenados
e
:
Plano
é dado por
. Substituindo
na forma reorganizada:
Isto é uma parábola no plano
(plano vertical) com vértice em
(mesmo vértice da superfície) e concavidade voltada para baixo. Essa parábola passa pelos pontos
(as interseções com
que já calculamos).
Plano
é dado por
. Substituindo
:
Também uma parábola no plano
, vértice em
e concavidade para baixo. Ela passa por
.
Esses dois traços parabólicos são de grande ajuda para dar “perfil” ao esboço: desenhe as parábolas simétricas em torno do eixo
nas direções
e
.
Passo 6
Traços em planos paralelos aos coordenados (explicação geral e equações):
- Plano
(paralelo a ): traço é a elipse
Os eixos da elipse valem
em
e
em
(quando
). À medida que
cresce até
, as elipses encolhem até o ponto.
- Plano
(paralelo a ): mantendo obtém-se
Isto é uma família de parábolas no plano
, todas com a mesma “abertura” em
(coeficiente
), deslocadas verticalmente por
. O vértice de cada parabola fica em
.
- Plano
(paralelo a ): mantendo obtém-se
Família de parábolas no plano
, abertas para baixo e deslocadas verticalmente por
.
Interpretação prática: ao deslocar planos paralelos aos eixos, obtém-se sempre parábolas (nas “fatias” verticais) ou elipses (nas “fatias” horizontais). Isso ajuda a construir o esboço tridimensional.
Passo 7
Instrução passo a passo para esboçar (sem usar calculadora):
- Desenhe um sistema de eixos
, , com vertical. Marque o ponto acima da origem — é o vértice. - No plano
desenhe a elipse usando os pontos e . - No plano
(plano ) desenhe a parábola que passa por e tem vértice em . - No plano
(plano ) desenhe a parábola que passa por e tem vértice em . - Desenhe algumas elipses horizontais adicionais para valores de
(por exemplo ou ) usando a fórmula para ver como as elipses crescem com a diminuição de . - Ligue suavemente as elipses e as parábolas respeitando a simetria em
e . Lembre-se que a superfície é simétrica por reflexão em relação aos planos e , mas não é rotacionalmente simétrica (os eixos das elipses são diferentes porque os coeficientes de e são distintos).
Dica motivacional: comece pelo vértice e pelas curvas principais (elipse em
e duas parábolas nos planos coordenados). Com essas guias, o resto do esboço encaixa naturalmente — você vai ver que não é tão assustador quanto parecia!
Resposta
Paraboloide elíptico voltado para baixo (concavidade para valores menores de
), com vértice em
.
Traços principais:
Traços principais:
- Plano
: (elipse com semi-eixos em e em ). - Plano
: (parábola no plano , vértice em ). - Plano
: (parábola no plano , vértice em ). - Planos
: elipses para ; para não há interseção real.