Identificar e esboçar o gráfico das superfícies a seguir, utilizando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados:
x^{2}+2 y^{2}=8-4 z

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^{2}+2y^{2}=8-4z
e pede para identificar a superfície e esboçar o seu gráfico usando os traços nos planos coordenados e em planos paralelos aos coordenados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é definida pela equação acima, envolvendo termos quadráticos em x e y e termo linear em z.
  • Não há outros dados numéricos além dos coeficientes já presentes na equação.
  • As tarefas concretas são: (i) identificar o tipo de superfície; (ii) obter os traços (interseções) com os planos coordenados xy, xz, yz e com planos paralelos (por exemplo z= constante, x= constante, y= constante); (iii) usar esses traços para esboçar o gráfico.

Passo 2

Isolar z para enxergar a forma da superfície. Parto da equação dada:
x^{2}+2y^{2}=8-4z.
Somando 4z e subtraindo x^{2}+2y^{2} em ambos os lados:
4z = 8 - x^{2} - 2y^{2}.
Dividindo por 4:
z = 2 - \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}y^{2}.
Explicando a ideia: escrever a equação na forma z = \text{const} + (\text{coef}_x)x^{2}+(\text{coef}_y)y^{2} ajuda a reconhecer superfícies quadráticas. Aqui os coeficientes dos termos quadráticos são negativos ( -\tfrac{1}{4} e -\tfrac{1}{2}), o que indica que, ao variar x e y, z diminui a partir de um ponto máximo. Isso caracteriza um paraboloide elíptico com concavidade voltada para baixo.

Passo 3

Determinar o vértice e a região onde há pontos reais. O vértice ocorre quando os termos quadráticos são zero, isto é x=0 e y=0. Substituindo:
z_{\text{vértice}} = 2 - \frac{1}{4}\cdot 0^{2} - \frac{1}{2}\cdot 0^{2} = 2.é
Logo o vértice é o ponto (0,0,2).
Para planos horizontais z=c (traços paralelos ao plano xy) a equação torna-se
x^{2}+2y^{2} = 8-4c.
  • Se c<2 então 8-4c>0 e a interseção é uma elipse.
  • Se c=2 então 8-4c=0 e a interseção reduz-se ao ponto (0,0,2) (vértice).
  • Se c>2 então 8-4c<0 e não há interseção real.
Portanto as seções horizontais são elipses de tamanhos decrescentes à medida que c se aproxima de 2, terminando no vértice em z=2. Isso confirma o formato de paraboloide elíptico voltado para baixo, ilustração mental: elipses empilhadas, maiores embaixo e encolhendo até um ponto no topo.

Passo 4

Calcular explicitamente o traço no plano z=0 (plano xy), útil para o esboço:
Substituindo z=0 na equação original:
x^{2}+2y^{2}=8.
Colocando em forma de elipse normalizada:
\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1.
Isso mostra que a elipse em z=0 tem semi-eixo em x igual a \sqrt{8}=2\sqrt{2} e semi-eixo em y igual a \sqrt{4}=2. Em pontos notáveis: interseções com eixos do plano xy:
  • Interseção com eixo x ( y=0): x=\pm 2\sqrt{2}.
  • Interseção com eixo y ( x=0): y=\pm 2.
Incentivo rápido: marque esses quatro pontos no plano z=0 para desenhar a elipse central do esboço.

Passo 5

Traços nos planos coordenados xz e yz:
Plano xz é dado por y=0. Substituindo y=0 na forma reorganizada:
x^{2} = 8-4z \quad\Longrightarrow\quad z = 2 - \frac{1}{4}x^{2}.
Isto é uma parábola no plano xz (plano vertical) com vértice em (0,0,2) (mesmo vértice da superfície) e concavidade voltada para baixo. Essa parábola passa pelos pontos (\pm 2\sqrt{2},0,0) (as interseções com z=0 que já calculamos).
Plano yz é dado por x=0. Substituindo x=0:
2y^{2} = 8-4z \quad\Longrightarrow\quad z = 2 - \frac{1}{2}y^{2}.
Também uma parábola no plano yz, vértice em (0,0,2) e concavidade para baixo. Ela passa por (0,\pm 2,0).
Esses dois traços parabólicos são de grande ajuda para dar “perfil” ao esboço: desenhe as parábolas simétricas em torno do eixo z nas direções x e y.

Passo 6

Traços em planos paralelos aos coordenados (explicação geral e equações):
  • Plano z=c (paralelo a xy): traço é a elipse
x^{2}+2y^{2}=8-4c.
Os eixos da elipse valem \sqrt{8-4c} em x e \sqrt{(8-4c)/2} em y (quando 8-4c>0). À medida que c cresce até 2, as elipses encolhem até o ponto.
  • Plano y=y_0 (paralelo a xz): mantendo y=y_0 obtém-se
x^{2} = 8 - 4z - 2y_0^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = 2 - \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}y_0^{2}.
Isto é uma família de parábolas no plano xz, todas com a mesma “abertura” em x (coeficiente -\tfrac{1}{4}), deslocadas verticalmente por -\tfrac{1}{2}y_0^{2}. O vértice de cada parabola fica em (0,y_0,\,2-\tfrac{1}{2}y_0^{2}).
  • Plano x=x_0 (paralelo a yz): mantendo x=x_0 obtém-se
2y^{2} = 8 - 4z - x_0^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = 2 - \frac{1}{4}x_0^{2} - \frac{1}{2}y^{2}.
Família de parábolas no plano yz, abertas para baixo e deslocadas verticalmente por -\tfrac{1}{4}x_0^{2}.
Interpretação prática: ao deslocar planos paralelos aos eixos, obtém-se sempre parábolas (nas “fatias” verticais) ou elipses (nas “fatias” horizontais). Isso ajuda a construir o esboço tridimensional.

Passo 7

Instrução passo a passo para esboçar (sem usar calculadora):
  1. Desenhe um sistema de eixos x, y, z com z vertical. Marque o ponto (0,0,2) acima da origem — é o vértice.
  2. No plano z=0 desenhe a elipse \dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 usando os pontos (\pm 2\sqrt{2},0,0) e (0,\pm 2,0).
  3. No plano y=0 (plano xz) desenhe a parábola z=2-\tfrac{1}{4}x^{2} que passa por (\pm 2\sqrt{2},0,0) e tem vértice em (0,0,2).
  4. No plano x=0 (plano yz) desenhe a parábola z=2-\tfrac{1}{2}y^{2} que passa por (0,\pm 2,0) e tem vértice em (0,0,2).
  5. Desenhe algumas elipses horizontais adicionais para valores de z<2 (por exemplo z=1 ou z=-2) usando a fórmula x^{2}+2y^{2}=8-4z para ver como as elipses crescem com a diminuição de z.
  6. Ligue suavemente as elipses e as parábolas respeitando a simetria em x e y. Lembre-se que a superfície é simétrica por reflexão em relação aos planos x=0 e y=0, mas não é rotacionalmente simétrica (os eixos das elipses são diferentes porque os coeficientes de x^{2} e y^{2} são distintos).
Dica motivacional: comece pelo vértice e pelas curvas principais (elipse em z=0 e duas parábolas nos planos coordenados). Com essas guias, o resto do esboço encaixa naturalmente — você vai ver que não é tão assustador quanto parecia!

Resposta

Paraboloide elíptico voltado para baixo (concavidade para valores menores de z), com vértice em (0,0,2).
Traços principais:
  • Plano z=0: \dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 (elipse com semi-eixos 2\sqrt{2} em x e 2 em y).
  • Plano y=0: z=2-\dfrac{1}{4}x^{2} (parábola no plano xz, vértice em (0,0,2)).
  • Plano x=0: z=2-\dfrac{1}{2}y^{2} (parábola no plano yz, vértice em (0,0,2)).
  • Planos z=c: elipses x^{2}+2y^{2}=8-4c para c<2; para c\ge 2 não há interseção real.

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