Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da varíável x e do parâmetro t:
lx=sen t y=sen(2 t), t in[0,2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir como x e y estão relacionados e também encontrar a derivada de y em relação a x, considerando que:
x = sin t y = sin(2t) , t in [0, 2pi]
Aqui, estamos trabalhando com funções paramétricas, que é parte da matéria de cálculo diferencial. Vamos precisar usar conhecimentos sobre funções trigonométricas e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a relação direta entre x e y sem o parâmetro t. Sabemos que:
x = sin t
Queremos expressar y em termos de x. Sabemos que y = sin(2t). Podemos usar a identidade trigonométrica que diz:
sin(2t) = 2 sin t cos t
Então, substituindo x = sin t na equação de y:
y = 2x cos t
Mas ainda temos o cos t, então precisamos expressar cos t em termos de x. Sabemos que:
cos^2 t = 1 - sin^2 t implies cos t = raiz1 - x^2
Portanto:
y = 2x raiz1 - x^2
Agora temos y em função de x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, dydx. Para isso, usamos a regra da cadeia, já que y está definido em termos de t e x também depende de t.
Primeiro, encontramos dydt e dxdt:
dxdt = cos t
dydt = 2 cos(2t)
A derivada dydx é então:
dydx = dydtdxdt = 2 cos(2t)cos t
Podemos simplificar isso usando a identidade cos(2t) = 2cos^2 t - 1:
dydx = 2(2cos^2 t - 1)cos t = 4cos^2 t - 2cos t = 4cos t - 2cos t
Então, essa é a derivada de y em termos de t.

Resposta

A relação entre x e y é:
y = 2x raiz1 - x^2
E a derivada de y em relação a x é:
dydx = 4cos t - 2cos t

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