Determinar o vínculo entre
e
e derivada de
em termos da varíável
e do parâmetro
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir como
e
estão relacionados e também encontrar a derivada de
em relação a
, considerando que:
Aqui, estamos trabalhando com funções paramétricas, que é parte da matéria de cálculo diferencial. Vamos precisar usar conhecimentos sobre funções trigonométricas e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a relação direta entre
e
sem o parâmetro
. Sabemos que:
Queremos expressar
em termos de
. Sabemos que
. Podemos usar a identidade trigonométrica que diz:
Então, substituindo
na equação de
:
Mas ainda temos o
, então precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Portanto:
Agora temos
em função de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia, já que
está definido em termos de
e
também depende de
.
Primeiro, encontramos
e
:
A derivada
é então:
Podemos simplificar isso usando a identidade
:
Então, essa é a derivada de
em termos de
.
Resposta
A relação entre
e
é:
E a derivada de
em relação a
é: