Determinar o vínculo entre
e
e derivada de
em termos da varíável
e do parâmetro
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir como as variáveis
e
estão relacionadas, partindo das equações paramétricas fornecidas:
Além disso, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender sobre funções paramétricas e como calcular derivadas quando as variáveis são expressas em termos de um parâmetro comum, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer o vínculo entre
e
eliminando o parâmetro
. Isso significa que queremos expressar
diretamente em função de
, sem depender de
.
Sabemos que:
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, usamos a função inversa do cosseno:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na expressão de
:
Para simplificar essa expressão, usamos uma identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Aplicando isso na nossa equação:
Sabemos que
, então:
Então, o vínculo entre
e
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Como já temos
expresso diretamente em função de
, podemos derivar normalmente.
Dada a função:
A derivada é:
Passo 5
Alternativamente, podemos calcular
usando o parâmetro
, aplicando a regra da cadeia. Primeiro, calculamos
e
:
Então, pela regra da cadeia:
Usando a identidade
:
E como
, temos:
Resposta
O vínculo entre
e
é
e a derivada de
em relação a
é
.