Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da varíável x e do parâmetro t:
lx-cos t y=cos (2 t), t in[0,2 pi] ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir como as variáveis x e y estão relacionadas, partindo das equações paramétricas fornecidas:
l x = cos t y = cos(2t) , t in [0, 2pi]
Além disso, queremos encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Para isso, vamos precisar entender sobre funções paramétricas e como calcular derivadas quando as variáveis são expressas em termos de um parâmetro comum, que nesse caso é t .

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer o vínculo entre x e y eliminando o parâmetro t . Isso significa que queremos expressar y diretamente em função de x , sem depender de t .
Sabemos que:
x = cos t
Queremos expressar t em termos de x . Para isso, usamos a função inversa do cosseno:
t = arccos x

Passo 3

Agora, vamos substituir t = arccos x na expressão de y :
y = cos(2t) = cos(2 cdot arccos x)
Para simplificar essa expressão, usamos uma identidade trigonométrica que relaciona cos(2theta) com cos theta :
cos(2theta) = 2cos^2 theta - 1
Aplicando isso na nossa equação:
y = 2cos^2(arccos x) - 1
Sabemos que cos(arccos x) = x , então:
y = 2x^2 - 1
Então, o vínculo entre x e y é:
y = 2x^2 - 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Como já temos y expresso diretamente em função de x , podemos derivar normalmente.
Dada a função:
y = 2x^2 - 1
A derivada é:
dydx = ddx(2x^2) - ddx(1) = 4x - 0 = 4x

Passo 5

Alternativamente, podemos calcular dydx usando o parâmetro t , aplicando a regra da cadeia. Primeiro, calculamos dydt e dxdt :
dxdt = -sin t
dydt = -2sin(2t)
Então, pela regra da cadeia:
dydx = dydtdxdt = -2sin(2t)-sin t = 2sin(2t)sin t
Usando a identidade sin(2t) = 2sin t cos t :
dydx = 2 cdot 2sin t cos tsin t = 4cos t
E como x = cos t , temos:
dydx = 4x

Resposta

O vínculo entre x e y é y = 2x^2 - 1 e a derivada de y em relação a x é dydx = 4x .

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