Determinar o vínculo entre
e
e derivada de
em termos da varíável
e do parâmetro
:
Sendo as funções cosseno e seno hiperbólicos:
Adicionalmente, mostrar que
.
Sendo as funções cosseno e seno hiperbólicos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações paramétricas que relacionam [x) e
através de um parâmetro
. Temos:
Aqui, são funções hiperbólicas definidas por:
Vamos precisar entender como relacionar
e
sem o
, encontrar a derivada de
em relação a
, e também mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a relação direta entre
e
sem o parâmetro
. Sabemos que:
Queremos eliminar o
. Para isso, dividimos as duas equações:
Mas para encontrar uma relação sem
, melhor elevar ambas as equações ao quadrado e subtrair:
Passo 3
Agora, lembremos de uma identidade importante das funções hiperbólicas:
Substituindo na equação anterior:
Multiplicando tudo por
:
Então, a relação entre
e
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia, já que
e
estão em termos de
:
Primeiro, derivamos
e
em relação a
:
Então,
Passo 5
Podemos também expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Então,
Resposta
A relação entre
e
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Além disso, mostramos que
.