Determinar o vínculo entre x e y e derivada de y em termos da varíável x e do parâmetro t:
lx=a ch t y=a sh t, t in(-infty, infty)
Sendo as funções cosseno e seno hiperbólicos: ch t=12(e^t+e^-t) sh t=12(e^t-e^-t) Adicionalmente, mostrar que ch^2 t-sh^2 t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações paramétricas que relacionam [x) e através de um parâmetro . Temos:
Aqui, são funções hiperbólicas definidas por:
Vamos precisar entender como relacionar e sem o , encontrar a derivada de em relação a , e também mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a relação direta entre x e y sem o parâmetro t . Sabemos que:
x = a cosh t e y = a sinh t
Queremos eliminar o t . Para isso, dividimos as duas equações:
yx = a sinh ta cosh t = tanh t
Mas para encontrar uma relação sem t , melhor elevar ambas as equações ao quadrado e subtrair:
(xa)^2 - (ya)^2 = cosh^2 t - sinh^2 t

Passo 3

Agora, lembremos de uma identidade importante das funções hiperbólicas:
cosh^2 t - sinh^2 t = 1
Substituindo na equação anterior:
(xa)^2 - (ya)^2 = 1
Multiplicando tudo por a^2 :
x^2 - y^2 = a^2
Então, a relação entre x e y é:
x^2 - y^2 = a^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Para isso, usamos a regra da cadeia, já que y e x estão em termos de t :
dydx = dydtdxdt
Primeiro, derivamos y e x em relação a t :
dydt = a cosh t e dxdt = a sinh t
Então,
dydx = a cosh ta sinh t = cosh tsinh t = coth t

Passo 5

Podemos também expressar dydx em termos de x e y . Sabemos que:
cosh^2 t - sinh^2 t = 1 Rightarrow cosh t = xa e sinh t = ya
Então,
dydx = cosh tsinh t = xaya = xy

Resposta

A relação entre x e y é x^2 - y^2 = a^2 , e a derivada de y em relação a x é dydx = xy . Além disso, mostramos que cosh^2 t - sinh^2 t = 1 .

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