Determine:
lim x 1 raiz[3]x-raizxraiz[4]x-raiz[6]x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto1 dfracraiz[3]x-raizxraiz[4]x-raiz[6]x. O conteúdo aqui é limites envolvendo indeterminação do tipo 0/0 e vamos precisar usar a regra de l’Hôpital, que exige derivação de funções potência.

Passo 2

Primeiro a gente verifica a forma da indeterminação. Substituindo x=1: raiz[3]1-raiz1=0 e raiz[4]1-raiz[6]1=0, então o limite é do tipo 0/0, e podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

A regra de l’Hôpital diz que, se limxto a f(x)=0 e limxto a g(x)=0 e existem f' e g' perto de a, então limxto a dfracf(x)g(x)=limxto a dfracf'(x)g'(x). Aqui definimos f(x)=x^1/3-x^1/2 e g(x)=x^1/4-x^1/6.
Agora usamos a derivada de x^a, que é a,x^a-1. Logo: f'(x)=tfrac13x^-2/3-tfrac12x^-1/2 e g'(x)=tfrac14x^-3/4-tfrac16x^-5/6.

Passo 4

Por fim, avaliamos em x=1: f'(1)=tfrac13-tfrac12=-tfrac16 e g'(1)=tfrac14-tfrac16=tfrac112. Assim o limite é
f'(1)g'(1)=-tfrac16tfrac112=-2

Resposta

-2

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