Verifique que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=x^3+x-1,[0,3]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=x^3+x-1
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo [0,3] e depois encontrar todos os c em (0,3) tais que
f'(c)=f(3)-f(0)3-0

Passo 2

O TVM exige que f seja contínua em [0,3] e derivável em (0,3). Como f é um polinômio, ela é contínua e derivável em toda a reta. Logo, as hipóteses do TVM estão satisfeitas em [0,3].

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f em [0,3]:
f(3)-f(0)3-0 =l(3^3+3-1r)-l(0^3+0-1r)3 =(27+3-1)-(-1)3 =29+13 =303 =10

Passo 4

Agora usamos a conclusão do TVM, isto é, existe cin(0,3) tal que
f'(c)=10
Como
f'(x)=3x^2+1,
temos
3c^2+1=10 Longrightarrow 3c^2=9 Longrightarrow c^2=3

Passo 5

Das soluções c=pmraiz3, apenas raiz3 está em (0,3). Portanto o único valor que satisfaz a conclusão do TVM no intervalo dado é
c=raiz3

Resposta

c=raiz3.

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