Use a substituição do Excrcício 59 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.
integral0^m / 2 sen 2 x2+cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
usando a substituição recomendada do exercício 59, que é a substituição de Weierstrass
O conteúdo aqui é transformar funções trigonométricas em função racional de e depois resolver a integral racional resultante.

Passo 2

Com temos as fórmulas clássicas:
Além disso

Passo 3

Substituindo no integrando:
No denominador
logo a integral vira
Se , então , e os limites vão de a .

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais para
8t(1-t^2)(1+t^2)^2(3+t^2) =alpha t3+t^2+beta t1+t^2+gamma t(1+t^2)^2
Multiplicando tudo pelo denominador comum e igualando coeficientes, obtemos o sistema
alpha+3beta+3gamma=8, 2alpha+4beta+gamma=-8, alpha+beta=0,
cuja solução é alpha=8, beta=-8, gamma=8. Portanto
8t(1-t^2)(1+t^2)^2(3+t^2) =8t3+t^2-8t1+t^2+8t(1+t^2)^2

Passo 5

Integramos termo a termo:
  1. integral8t3+t^2,dt=4ln(3+t^2).
  2. integral-8t1+t^2,dt=-4ln(1+t^2).
  3. Para integral8t(1+t^2)^2,dt, use u=1+t^2, du=2t,dt, resultando em
8integralt(1+t^2)^2,dt =4integral u^-2,du=-41+t^2
Assim uma primitiva é
F(t) =4ln(3+t^2)-4ln(1+t^2)-41+t^2

Passo 6

Avaliaremos de 0 a 1:
F(1)=4ln42-42 =4ln2-2, F(0)=4ln31-41 =4ln3-4
Então a integral é
I=F(1)-F(0) =(4ln2-2)-(4ln3-4) =4ln2-4ln3+2 =2+4ln23 =2-4ln32

Resposta

boxed2-4lnl(tfrac32r)

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