Use a substituição do Excrcício 59 para transformar o integrando em uma função racional de
e então calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a substituição recomendada do exercício 59, que é a substituição de Weierstrass
O conteúdo aqui é transformar funções trigonométricas em função racional de
e depois resolver a integral racional resultante.
Passo 2
Com
temos as fórmulas clássicas:
Além disso
Passo 3
Substituindo no integrando:
No denominador
logo a integral vira
Se
, então
dá
, e os limites vão de
a
.
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais para
Multiplicando tudo pelo denominador comum e igualando coeficientes, obtemos o sistema
cuja solução é
alpha=8 ,
beta=-8 ,
gamma=8 . Portanto
Passo 5
Integramos termo a termo:
-
.integral8t3+t^2,dt=4ln(3+t^2) -
.integral-8t1+t^2,dt=-4ln(1+t^2) - Para
, useintegral8t(1+t^2)^2,dt ,u=1+t^2 , resultando emdu=2t,dt
Assim uma primitiva é
Passo 6
Avaliaremos de
0 a
1 :
Então a integral é