Questão 2. Calcule as seguintes integrais
integral t^2raiz1-t d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral t^2raiz1-t,dt
Esse é um caso de integral com raiz quadrada no denominador. Vamos usar a técnica de substituição para eliminar a raiz e depois aplicar a fórmula de potências
integral u^n,du = u^n+1n+1.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 - t, du = -,dt
Logo
t = 1 - u, dt = -,du
Também temos raiz1-t = raizu = u^1/2 e t^2 = (1-u)^2. Substituindo na integral,
integral t^2raiz1-t,dt = integral (1-u)^2u^1/2,(-du) = -integral (1-u)^2u^-1/2,du

Passo 3

Expandindo o integrando:
(1-u)^2u^-1/2 = (1 - 2u + u^2)u^-1/2 = u^-1/2 - 2u^1/2 + u^3/2
Logo
integral t^2raiz1-t,dt = -integral l(u^-1/2 - 2u^1/2 + u^3/2r),du

Passo 4

Integrando termo a termo usando integral u^n,du = u^n+1n+1:
-integral u^-1/2,du = -2u^1/2, -integral(-2u^1/2),du = 43u^3/2, -integral u^3/2,du = -25u^5/2
Somando e incluindo a constante C, obtemos
-2u^1/2 + 43u^3/2 - 25u^5/2 + C

Passo 5

Voltando à variável t com u=1-t, a antiderivada fica
-2raiz1-t + 43(1-t)^3/2 - 25(1-t)^5/2 + C

Resposta

-2raiz1-t + 43(1-t)^3/2 - 25(1-t)^5/2 + C

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