Determinar o volume do paralelepípedo, cujas arestas passam pelos pontos A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,2).

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores AB, AC e AD, onde A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,2). O conteúdo necessário é o produto misto de vetores, que se calcula pelo determinante de uma matriz 3times3.

Passo 2

Calculamos os vetores formadores das arestas a partir de A:
AB = B - A = (-1-1,,0-0,,3-2) = (-2,0,1),
AC = C - A = (2-1,,4-0,,1-2) = (1,4,-1),
AD = D - A = (-1-1,,-2-0,,2-2) = (-2,-2,0)

Passo 3

O volume V do paralelepípedo é o valor absoluto do determinante formado por esses vetores como linhas (ou colunas) da matriz:
V = |det -2 & 0 & 1 1 & 4 & -1 -2 & -2 & 0 |

Passo 4

Vamos desenvolver esse determinante pela primeira linha:
det -2 & 0 & 1 1 & 4 & -1 -2 & -2 & 0 = (-2)cdot det4 & -1-2 & 0 - 0cdot(dots) + 1cdot det1 & 4-2 & -2
Calculando os menores:
det4 & -1-2 & 0 = 4cdot0 - (-1)cdot(-2) = -2,
det1 & 4-2 & -2 = 1cdot(-2) - 4cdot(-2) = 6
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det = (-2)cdot(-2) + 1cdot6 = 4 + 6 = 10,
e
V = |10| = 10

Resposta

10

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