QUESTÃO 02 | VALOR 3.5

Dado o espaço vetorial , considere os conjuntos de vetores e (contidos no espaço) e um vetor genérico definido por .
I. Determine a decomposição de sobre o subespaço gerado pelos vetores e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de .
II. Determine a decomposição de sobre o subespaço gerado pelos vetores e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z.
III. Determine a condição que um vetor deve satisfazer para que quando adicionado a ele forme um conjunto linearmente independente.
IV. Determine quais vetores de podem ser adicionados a para formar uma base de .
MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES N

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial R^4, dois conjuntos de vetores U=u1,u2,u3 e V=v1,v2,v3, e um vetor genérico z=(z1,z2,z3,z4). A matéria é decomposição de vetores em subespaços (span), igualdade de sistemas lineares, dependência e independência linear e formação de base. Para resolver vamos usar definição de span, resolver sistemas lineares para achar coeficientes e extrair condições entre coordenadas.

Passo 2

Para a parte I, o subespaço S1=spanu1,u2 é formado pelos vetores alphau1+betau2. Então impomos

Passo 3

z1 = 0

Passo 4

z2 = -3alpha - tfrac32beta

Passo 5

z3 = -tfrac23beta

Passo 6

z4 = 6alpha + tfrac13beta

Passo 7

Da terceira equação vem

Passo 8

beta = -tfrac32z3,

Passo 9

da segunda

Passo 10

alpha = -tfracz23 + tfrac34z3,

Passo 11

e substituindo em z4 achamos

Passo 12

z4 = -2z2 + 4z3

Passo 13

Isso mostra que a decomposição de z em S1 usa alpha e beta acima, e que S1 é o conjunto de z tais que

Passo 14

z1 = 0, z4 = -2z2 + 4z3

Passo 15

Na parte II, o subespaço S2=spanu1,u2,u3 obedece

Passo 16

-2gamma = z1,

Passo 17

-3alpha - tfrac32beta = z2,

Passo 18

-tfrac23beta - 3gamma = z3,

Passo 19

6alpha + tfrac13beta = z4

Passo 20

Da primeira vem

Passo 21

gamma = -tfracz12,

Passo 22

da terceira

Passo 23

beta = -tfrac32z3 + tfrac94z1,

Passo 24

e da segunda

Passo 25

alpha = -tfracz23 + tfrac34z3 - tfrac98z1

Passo 26

Substituindo em z4 surge a condição de pertença a S2:

Passo 27

z4 = -6z1 - 2z2 + 4z3

Passo 28

Para a parte III, um vetor u4=(a,b,c,d) não cair em S2 se

Passo 29

d neq -6a - 2b + 4c,

Passo 30

que é exatamente a condição de independência linear de u4 em relação a U.

Passo 31

Na parte IV, basta testar cada vi na fórmula d = -6a - 2b + 4c: v2 satisfaz a igualdade (fica dependente) e v1,v3 não, então são eles que podem completar U até uma base de R^4.

Resposta

I) A decomposição de z sobre o subespaço gerado por u1,u2 usa alpha = -tfracz23 + tfrac34z3 e beta = -tfrac32z3, e o subespaço é definido por z1=0 e z4=-2z2+4z3. II) A decomposição sobre o subespaço gerado por u1,u2,u3 usa alpha = -tfracz23 + tfrac34z3 - tfrac98z1, beta = -tfrac32z3 + tfrac94z1, gamma = -tfracz12, e o subespaço é definido por z4 = -6z1 - 2z2 + 4z3. III) Para u4=(a,b,c,d) ser independente de U é preciso d neq -6a - 2b + 4c. IV) Dos vetores de V, apenas v1 e v3 podem ser adicionados a U para formar uma base de R^4.

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