QUESTÃO 02 | VALOR 3.5
Dado o espaço vetorial
, considere os conjuntos de vetores
e
(contidos no espaço) e um vetor genérico
definido por
.
I. Determine a decomposição de
sobre o subespaço
gerado pelos vetores
e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de
.
II. Determine a decomposição de
sobre o subespaço
gerado pelos vetores
e defina o subespaço em termos das restrições sobre as componentes de z.
III. Determine a condição que um vetor
deve satisfazer para que quando adicionado a
ele forme um conjunto linearmente independente.
IV. Determine quais vetores de
podem ser adicionados a
para formar uma base de
.
MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES
N
I. Determine a decomposição de
II. Determine a decomposição de
III. Determine a condição que um vetor
IV. Determine quais vetores de
MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES | N | |
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Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial
, dois conjuntos de vetores
e
, e um vetor genérico
. A matéria é decomposição de vetores em subespaços (span), igualdade de sistemas lineares, dependência e independência linear e formação de base. Para resolver vamos usar definição de span, resolver sistemas lineares para achar coeficientes e extrair condições entre coordenadas.
Passo 2
Para a parte I, o subespaço
é formado pelos vetores
. Então impomos
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Da terceira equação vem
Passo 8
Passo 9
da segunda
Passo 10
Passo 11
e substituindo em
achamos
Passo 12
Passo 13
Isso mostra que a decomposição de
em
usa
e
acima, e que
é o conjunto de
tais que
Passo 14
Passo 15
Na parte II, o subespaço
obedece
Passo 16
Passo 17
Passo 18
Passo 19
Passo 20
Da primeira vem
Passo 21
Passo 22
da terceira
Passo 23
Passo 24
e da segunda
Passo 25
Passo 26
Substituindo em
surge a condição de pertença a
:
Passo 27
Passo 28
Para a parte III, um vetor
não cair em
se
Passo 29
Passo 30
que é exatamente a condição de independência linear de
em relação a
.
Passo 31
Na parte IV, basta testar cada
na fórmula
:
satisfaz a igualdade (fica dependente) e
não, então são eles que podem completar
até uma base de
.
Resposta
I) A decomposição de
sobre o subespaço gerado por
usa
e
, e o subespaço é definido por
e
. II) A decomposição sobre o subespaço gerado por
usa
,
,
, e o subespaço é definido por
. III) Para
ser independente de
é preciso
. IV) Dos vetores de
, apenas
e
podem ser adicionados a
para formar uma base de
.