Verifique se são coplanares os pontos:
A(1,1,1), B(-2,-1,3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2);

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(1,1,1), B(-2,-1,3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2) e pede para verificar se são coplanares. O critério é usar o produto misto (produto escalar triplo) dos vetores AB, AC e AD: se este for zero, o volume do tetraedro formado é zero e os pontos são coplanares; caso contrário, não são coplanares.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de A:
AB = B - A = (-2-1,,-1-1,,3-1) = (-3,,-2,,2),
AC = C - A = (0-1,,2-1,,-2-1) = (-1,,1,,-3),
AD = D - A = (-1-1,,0-1,,-2-1) = (-2,,-1,,-3)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD. Montando o determinante:
ACtimesAD = i&j&k -1&1&-3 -2&-1&-3 =(-6,,3,,3)

Passo 4

Agora o produto escalar triplo:
ABcdotl(ACtimesADr) =(-3,-2,2)cdot(-6,3,3) =18neq0

Passo 5

Como o produto misto é diferente de zero, o volume do tetraedro ABCD não é zero. Logo, os quatro pontos não são coplanares.

Resposta

Os pontos A, B, C e D não são coplanares.

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