Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=4, da região limitada por y=1 / x, y=4 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=4 a região limitada por y=tfrac1x, pela reta horizontal y=4 e pela reta vertical x=4. O conteúdo é o método dos casquilhos cilíndricos (shells) ou dos discos (“washers”), já que o eixo de rotação é horizontal.

Passo 2

Vamos usar casquilhos cilíndricos cortando a região por fatias horizontais.
Cada fatia em nível y tem espessura dy, gera um cilindro de raio
r(y)=4 - y
e comprimento (altura do casquilho) igual à extensão horizontal da região, que vai de x=1/y até x=4, ou seja
h(y)=4 - 1y
A variação de y vai desde o ponto mais baixo da região, onde x=4 e y=1/4, até o ponto mais alto, y=4.

Passo 3

O volume é
V = integraly=1/4^4 2pi,r(y),h(y),dy =2pi integral1/4^4 l(4-yr)l(4 - tfrac1yr),dy
Expandindo o integrando:
(4-y)l(4 - tfrac1yr) =16 - tfrac4y -4y +1 =17 -4y -4y

Passo 4

Calculamos a primitiva:
integral l(17 -4y -4yr)dy =17y -2y^2 -4ln y +C
Logo,
V =2pil[,17y -2y^2 -4ln yr]y=1/4^y=4

Passo 5

Avaliando nos limites,
l(17cdot4 -2cdot4^2 -4ln4r) -l(17tfrac14 -2tfrac116 -4lntfrac14r) =36 -4ln4 ;-;l(tfrac338+4ln4r) =2558-8ln4
Portanto
V=2pil(2558-8ln4r) =pil(2554-32ln2r)

Resposta

V = pil(2554-32ln2r)

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