Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
a região limitada por
, pela reta horizontal
e pela reta vertical
. O conteúdo é o método dos casquilhos cilíndricos (shells) ou dos discos (“washers”), já que o eixo de rotação é horizontal.
Passo 2
Vamos usar casquilhos cilíndricos cortando a região por fatias horizontais.
Cada fatia em nível tem espessura
, gera um cilindro de raio
Cada fatia em nível
e comprimento (altura do casquilho) igual à extensão horizontal da região, que vai de
até
, ou seja
A variação de
vai desde o ponto mais baixo da região, onde
e
, até o ponto mais alto,
.
Passo 3
O volume é
Expandindo o integrando:
Passo 4
Calculamos a primitiva:
Logo,
Passo 5
Avaliando nos limites,
Portanto