Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
ao redor do eixo
.
Passo 1
O problema pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada por y=x³, y=8 e x=0. Vamos usar cálculo de volume por integrais definidas e o método de discos (fatias horizontais).
Passo 2
Primeiro identificamos a região: a curva y=x³ intersecta y=8 quando x³=8, portanto x=2. Logo, para cada y∈[0,8], x varia de 0 até x=y^{1/3}.
Passo 3
No método de discos, cada fatia horizontal de espessura dy gira e gera um disco de raio R(y)=x(y)=y^{1/3}. A área desse disco é A(y)=π[R(y)]².
Passo 4
O volume é dado por
[
V = ∫_{y=0}^{8} π\cdot(y{1/3})2 ,dy = π ∫_{0}^{8} y^{2/3} ,dy
].
[
V = ∫_{y=0}^{8} π\cdot(y{1/3})2 ,dy = π ∫_{0}^{8} y^{2/3} ,dy
].
Passo 5
Agora integramos:
[
∫ y^{2/3} ,dy = \frac{y^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} y^{5/3}
]
avaliando de 0 a 8:
[
V = π \cdot \frac{3}{5} [8^{5/3} - 0] = \frac{3π}{5} \cdot 8^{5/3} = \frac{3π}{5} \cdot 32 = \frac{96π}{5}.
]
[
∫ y^{2/3} ,dy = \frac{y^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} y^{5/3}
]
avaliando de 0 a 8:
[
V = π \cdot \frac{3}{5} [8^{5/3} - 0] = \frac{3π}{5} \cdot 8^{5/3} = \frac{3π}{5} \cdot 32 = \frac{96π}{5}.
]