Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=x^3, y=8 e x=0 ao redor do eixo y.

Passo 1

O problema pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada por y=x³, y=8 e x=0. Vamos usar cálculo de volume por integrais definidas e o método de discos (fatias horizontais).

Passo 2

Primeiro identificamos a região: a curva y=x³ intersecta y=8 quando x³=8, portanto x=2. Logo, para cada y∈[0,8], x varia de 0 até x=y^{1/3}.

Passo 3

No método de discos, cada fatia horizontal de espessura dy gira e gera um disco de raio R(y)=x(y)=y^{1/3}. A área desse disco é A(y)=π[R(y)]².

Passo 4

O volume é dado por
[
V = ∫_{y=0}^{8} π\cdot(y{1/3})2 ,dy = π ∫_{0}^{8} y^{2/3} ,dy
].

Passo 5

Agora integramos:
[
∫ y^{2/3} ,dy = \frac{y^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} y^{5/3}
]
avaliando de 0 a 8:
[
V = π \cdot \frac{3}{5} [8^{5/3} - 0] = \frac{3π}{5} \cdot 8^{5/3} = \frac{3π}{5} \cdot 32 = \frac{96π}{5}.
]

Resposta

96pi5

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