Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a primitiva mais geral de uma função a partir de sua segunda derivada. Aqui temos f’’(x)=6x+\sin x, e vamos usar a ideia de primitiva (antiderivada) duas vezes para chegar em f(x). Vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e saber integrar polinômios e seno.
Passo 2
Primeiro, calculamos a primeira primitiva f’(x) integrando f’’(x):
Integramos separadamente cada termo: 6x e \sin x. Usamos
e
. Então:
Passo 3
Em seguida, calculamos a segunda primitiva f(x) integrando f’(x):
Integramos termo a termo 3x^2, -\cos x e a constante C_1. Usamos
e
. Portanto:
Passo 4
Para verificar, derivamos f(x): primeiro f’(x)=3x^2-\cos x+C_1 e depois f’’(x)=6x+\sin x, que coincide com o dado, mostrando que está correto.
Resposta
A primitiva mais geral é
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.