Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime prime(x)=6 x+sen x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a primitiva mais geral de uma função a partir de sua segunda derivada. Aqui temos f’’(x)=6x+\sin x, e vamos usar a ideia de primitiva (antiderivada) duas vezes para chegar em f(x). Vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e saber integrar polinômios e seno.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira primitiva f’(x) integrando f’’(x):
Integramos separadamente cada termo: 6x e \sin x. Usamos integral x,dx=x^2/2 e integralsin x,dx=-cos x. Então:
f'(x)=integral(6x+sin x),dx=6integral x,dx+integralsin x,dx=6cdotx^22-cos x+C1=3x^2-cos x+C1

Passo 3

Em seguida, calculamos a segunda primitiva f(x) integrando f’(x):
Integramos termo a termo 3x^2, -\cos x e a constante C_1. Usamos integral x^2,dx=x^3/3 e integralcos x,dx=sin x. Portanto:
f(x)=integral(3x^2-cos x+C1),dx=3integral x^2,dx-integralcos x,dx+C1integral1,dx=x^3-sin x+C1x+C2

Passo 4

Para verificar, derivamos f(x): primeiro f’(x)=3x^2-\cos x+C_1 e depois f’’(x)=6x+\sin x, que coincide com o dado, mostrando que está correto.

Resposta

A primitiva mais geral é
f(x)=x^3-sin x+C1x+C2,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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