Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime prime prime(t)=cos t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva geral de uma função cuja terceira derivada é dada por f'''(t)=cos t. O conteúdo envolvido é integração indefinida múltipla (três integrações), sempre introduzindo constantes de integração.

Passo 2

Primeiro integramos f'''(t)=cos t para obter f''(t). Ao integrar, usamos integralcos t,dt=sin t e adicionamos uma constante C1:
f''(t)=sin t + C1

Passo 3

Em seguida, integramos f''(t)=sin t + C1 para achar f'(t). Sabendo que integralsin t,dt=-cos t e integral C1,dt=C1t, obtemos:
f'(t)=-cos t + C1t + C2

Passo 4

Agora integramos f'(t)=-cos t + C1t + C2 para chegar em f(t). Usamos:
integral(-cos t),dt=-sin t, integral C1t,dt=C12t^2, integral C2,dt=C2t
Então:
f(t)=-sin t + C12t^2 + C2t + C3

Passo 5

Para verificar, derivamos sucessivamente:
f'(t)=-cos t + C1t + C2, f''(t)=sin t + C1, f'''(t)=cos t
De fato, recuperamos f'''(t)=cos t, confirmando a primitiva.

Passo 6

Portanto, a primitiva geral de f'''(t)=cos t é dada por f(t)=-sin t+tfracC12t^2+C2t+C3, com C1,C2,C3 constantes de integração.

Resposta

f(t)= -\sin t + \frac{C_1}{2}t^2 + C_2t + C_3

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