Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a primitiva geral de uma função cuja terceira derivada é dada por
. O conteúdo envolvido é integração indefinida múltipla (três integrações), sempre introduzindo constantes de integração.
Passo 2
Primeiro integramos
para obter
. Ao integrar, usamos
e adicionamos uma constante
:
Passo 3
Em seguida, integramos
para achar
. Sabendo que
e
, obtemos:
Passo 4
Agora integramos
para chegar em
. Usamos:
Então:
Passo 5
Para verificar, derivamos sucessivamente:
De fato, recuperamos
, confirmando a primitiva.
Passo 6
Portanto, a primitiva geral de
é dada por
, com
constantes de integração.
Resposta
f(t)= -\sin t + \frac{C_1}{2}t^2 + C_2t + C_3