Encontre a área limitada pelas curvas y^2=2 x-2 e y=x-5

Passo 1

Beleza, então a gente precisa encontrar a área que está entre as curvas $ y^{2} = 2x - 2 $ e $ y = x - 5 $. Para isso, vamos usar cálculo integral. Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
y = x - 5
Substituindo na equação da parábola:
(y)^2 = 2x - 2 implies (x - 5)^2 = 2x - 2

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo da equação:
x^2 - 10x + 25 = 2x - 2
Leva tudo para um lado:
x^2 - 12x + 27 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 12 pm raiz144 - 1082 = 12 pm 62
Então, as soluções são:
x = 9 e x = 3

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de $ y $ correspondentes a esses $ x $:
Para $ x = 9 $:
y
Para $ x = 3 $:
x
Então, os pontos de interseção são $ (9, 4) $ e $ (3, -2) $.

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as duas funções em relação a $ x $ de $ x = 3 $ a $ x = 9 $. Primeiro, precisamos saber qual função está acima da outra nesse intervalo.

Passo 7

Expressando as equações em termos de $ y $:
Para a parábola:
y
Para a reta:
y^2 = 2x - 2 implies x = y^2 + 22

Passo 8

A área será a soma de duas integrais:
Área = integral-2^0 [(y + 5) - y^2 + 22] dy + integral0^4 [y^2 + 22 - (y + 5)] dy Á

Passo 9

Resolvendo as integrais:
Primeira integral:
103
Segunda integral:
403

Resposta

A área limitada pelas curvas $ y^{2} = 2x - 2 $ e $ y = x - 5 $ é $ \frac{50}{3} $ unidades de área.

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