Encontre a área limitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, então a gente precisa encontrar a área que está entre as curvas $ y^{2} = 2x - 2 $ e $ y = x - 5 $. Para isso, vamos usar cálculo integral. Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
Substituindo na equação da parábola:
Passo 3
Expandindo o lado esquerdo da equação:
Leva tudo para um lado:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de $ y $ correspondentes a esses $ x $:
Para $ x = 9 $:
Para $ x = 3 $:
Então, os pontos de interseção são $ (9, 4) $ e $ (3, -2) $.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as duas funções em relação a $ x $ de $ x = 3 $ a $ x = 9 $. Primeiro, precisamos saber qual função está acima da outra nesse intervalo.
Passo 7
Expressando as equações em termos de $ y $:
Para a parábola:
Para a reta:
Passo 8
A área será a soma de duas integrais:
Passo 9
Resolvendo as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Resposta
A área limitada pelas curvas $ y^{2} = 2x - 2 $ e $ y = x - 5 $ é $ \frac{50}{3} $ unidades de área.