Determinar o volume do sólido limitada pela superfície z^2=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2-2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies: a superfície definida por z^2 = x^2 + y^2 e o cilindro dado por x^2 + y^2 - 2y = 0 . Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas, porque essas equações se adaptam bem a esse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações que definem nosso sólido.
A equação z^2 = x^2 + y^2 descreve um cone circular duplo centrado na origem, abrindo para cima e para baixo.
Já a equação do cilindro x^2 + y^2 - 2y = 0 pode ser reescrita completando o quadrado para facilitar a visualização:
x^2 + y^2 - 2y = x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0
Então,
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso é a equação de um cilindro circular com raio 1, centralizado no eixo que passa pelo ponto (0,1,0).

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
No sistema cilíndrico, a equação do cone fica:
z^2 = r^2
Rightarrow z = pm r
E a equação do cilindro:
x^2 + y^2 - 2y = r^2 - 2r sin theta = 0
Rightarrow r (r - 2 sin theta) = 0
Assim, temos duas soluções: r = 0 (o eixo central) e r = 2 sin theta . Como r representa a distância ao eixo, vamos considerar r = 2 sin theta como o limite externo.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para theta . Como r = 2 sin theta deve ser positivo e máximo quando sin theta = 1 (ou seja, theta = pi2 ), o intervalo para theta é de 0 a pi .
Portanto:
0 <= theta <= pi
E para cada theta , r varia de 0 a 2 sin theta .

Passo 5

Agora, vamos expressar o volume V como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:
V = integral0^pi integral0^2 sin theta integral-r^r r , dz , dr , dtheta
Aqui, o fator r vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral-r^r dz = z |-r^r = r - (-r) = 2r
Então, a integral fica:
V = integral0^pi integral0^2 sin theta (2r) cdot r , dr , dtheta = 2 integral0^pi integral0^2 sin theta r^2 , dr , dtheta

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em r :
integral0^2 sin theta r^2 , dr = r^33 |0^2 sin theta = (2 sin theta)^33 = 8 sin^3 theta3
Substituindo de volta:
V = 2 integral0^pi 8 sin^3 theta3 , dtheta = 163 integral0^pi sin^3 theta , dtheta

Passo 8

Vamos calcular a integral integral0^pi sin^3 theta , dtheta . Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
sin^3 theta = sin theta (1 - cos^2 theta)
Então,
integral sin^3 theta , dtheta = integral sin theta , dtheta - integral sin theta cos^2 theta , dtheta
Resolvendo cada parte:
integral sin theta , dtheta = -cos theta
integral sin theta cos^2 theta , dtheta = cos^3 theta3
Então,
integral0^pi sin^3 theta , dtheta = [ -cos theta + cos^3 theta3 ]0^pi
Calculando nos limites:
Para theta = pi :
-cos pi + cos^3 pi3 = -(-1) + (-1)^33 = 1 - 13 = 23
Para theta = 0 :
-cos 0 + cos^3 03 = -(1) + 1^33 = -1 + 13 = -23
Subtraindo:
23 - (-23) = 43

Passo 9

Então, substituindo de volta no volume:
V = 163 cdot 43 = 649

Resposta

O volume do sólido é 649 unidades cúbicas.

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