Determinar o volume do sólido limitada pela superfície e pelo cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies: a superfície definida por e o cilindro dado por . Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas, porque essas equações se adaptam bem a esse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações que definem nosso sólido.
A equação descreve um cone circular duplo centrado na origem, abrindo para cima e para baixo.
Já a equação do cilindro pode ser reescrita completando o quadrado para facilitar a visualização:
Então,
Isso é a equação de um cilindro circular com raio 1, centralizado no eixo que passa pelo ponto (0,1,0).
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
No sistema cilíndrico, a equação do cone fica:
E a equação do cilindro:
Assim, temos duas soluções: (o eixo central) e . Como representa a distância ao eixo, vamos considerar como o limite externo.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para . Como deve ser positivo e máximo quando (ou seja, ), o intervalo para é de a .
Portanto:
E para cada , varia de a .
Passo 5
Agora, vamos expressar o volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:
V = integral0^pi integral0^2 sin theta (2r) cdot r , dr , dtheta = 2 integral0^pi integral0^2 sin theta r^2 , dr , dtheta
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em r :
integral0^2 sin theta r^2 , dr = r^33 |0^2 sin theta = (2 sin theta)^33 = 8 sin^3 theta3