Sabendo-se que a parábola de equação y=x^2+b x+c é tangenciada pela reta de equação y=x no ponto ( 1,1 ), determine b e c.

Passo 1

O enunciado dá uma parábola de equação y=x^2+b,x+c que é tangenciada pela reta y=x no ponto (1,1). Para que duas curvas sejam tangentes em um ponto, elas devem (i) passar por esse ponto e (ii) ter o mesmo declive (derivada) naquele ponto. Vamos usar esses dois fatos.

Passo 2

Impor que a parábola passe por (1,1). Substituindo x=1 e y=1 em y=x^2+b,x+c, obtemos
1 = 1^2 + bcdot1 + c
ou seja
1 = 1 + b + c
Daí vem a equação
b + c = 0

Passo 3

Impor que o declive da parábola em x=1 seja igual ao da reta y=x. A derivada da parábola é
y' = 2x + b
No ponto x=1 isso vale
y'(1) = 2cdot1 + b = 2 + b
Como a reta y=x tem declive 1, exigimos
2 + b = 1
o que dá
b = -1

Passo 4

Substituir b=-1 em b + c = 0. Assim
-1 + c = 0
logo
c = 1

Resposta

b=-1, c=1.

Exercícios relacionados