Obtenha as equações das retas normal e tangente à curva y=x^2+6 x+1 no ponto de abscissa 4 .

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva y = x^2 + 6x + 1 no ponto de abscissa 4. O conteúdo envolve derivadas para obter o coeficiente angular da tangente e a construção das retas conhecendo o ponto e o coeficiente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=x^2+6x+1:
f'(x) = 2x + 6

Passo 3

Avaliação em x=4:
mt = f'(4) = 2cdot4 + 6 = 14,
e a ordenada do ponto é
y(4) = 4^2 + 6cdot4 + 1 = 41

Passo 4

A equação da reta tangente, em forma ponto-declive, é
y - 41 = 14,(x - 4),
que em forma reduzida fica
y = 14x - 56 + 41 = 14x - 15

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso de 14:
mn = -114
Logo, a reta normal satisfaz
y - 41 = -114,(x - 4),
ou, em forma reduzida,
y = -114x + 414 + 41 = -114x + 2897

Resposta

Tangente: y = 14x - 15
Normal: y - 41 = -tfrac114(x - 4) ou y = -tfrac114x + tfrac2897

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