Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
y=x^{2 / 3}, \quad y=4, \quad ao redor do eixo x=-9

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta vertical x=-9. A região R é a parte do plano limitada pelas curvas
y = x^{2/3}
e
y = 4.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  1. A fronteira inferior da região é o gráfico de y=x^{2/3}.
  2. A fronteira superior da região é a reta horizontal y=4.
  3. O eixo de rotação é a reta vertical x=-9.
  4. Para achar os limites da região em x ou em y precisaremos saber onde as duas curvas se intersectam, ou seja, os pontos onde x^{2/3}=4 (vou determinar os valores numéricos dessas interseções nos passos seguintes).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre y=x^{2/3} e y=4. Devemos resolver a equação
x^{2/3}=4.
Para isolar x, elevamos ambos os lados à potência 3/2. Ao fazer isso lembramos que x^{2/3}=(|x|)^{2/3} e portanto aparecerão soluções simétricas em relação ao eixo y. Calculando:
x = 4^{3/2}.
Como a equação envolve x^{2/3}, tanto x=4^{3/2} quanto x=-4^{3/2} satisfazem a igualdade. Calculando 4^{3/2}:
4^{1/2}=2\quad\Rightarrow\quad 4^{3/2}=(4^{1/2})^3=2^3=8.
Logo as interseções ocorrem em
x = 8 \quad\text{e}\quad x=-8.
Isto significa que a região R está entre x=-8 e x=8 no sentido horizontal e entre y=0 e y=4 no sentido vertical (note que y=x^{2/3}\ge 0, então o menor valor de y nessa região é 0).

Passo 3

Descrever a região R de forma conveniente para integração. Como y=x^{2/3} é uma curva simétrica, podemos resolver para x em função de y:
x^{2/3}=y \quad\Rightarrow\quad |x|=y^{3/2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm y^{3/2}.
Portanto, para cada valor de y entre 0 e 4 a região R tem segmento horizontal que vai de x=-y^{3/2} até x=+y^{3/2}. Essa descrição em termos de y é muito útil se usarmos a técnica de discos/arruelas (washers), porque o eixo de rotação é vertical e as fatias perpendiculares ao eixo serão fatias horizontais (uma fatia horizontal girada gera uma arruela).

Passo 4

Escolha do método de cálculo do volume e justificativa. Dois métodos comuns:
  • Método das cascas cilíndricas (shells): integrar em x, usando cortes verticais; fórmula V=2\pi\int r(x)\,h(x)\,dx.
  • Método dos discos/arruelas (washers): integrar em y, usando cortes horizontais; fórmula V=\int \pi\big(R(y)^2-r(y)^2\big)\,dy.
Aqui eu escolho o método dos discos/arruelas porque:
  1. A descrição da região é simples em função de y (bordas em x=\pm y^{3/2}).
  2. Ao girar o segmento horizontal entre x=-y^{3/2} e x=+y^{3/2} em torno de x=-9 obtemos uma arruela com raios fáceis de escrever e a expressão para a área da seção transversal simplifica muito (vai reduzir a um termo simples em y^{3/2}). Isso gera uma integral direta e fácil de calcular à mão.

Passo 5

Construir os raios da arruela para um dado y\in[0,4]. Para um y fixo o segmento horizontal tem extremidades
x_{\text{esq}}=-y^{3/2},\qquad x_{\text{dir}}=+y^{3/2}.
A distância de cada extremidade até o eixo x=-9 (esse eixo é vertical) dá os raios da arruela:
  • Raio externo R(y) = distância do eixo ao ponto mais à direita x_{\text{dir}}=y^{3/2}:
R(y)=\bigl(y^{3/2}-(-9)\bigr)=y^{3/2}+9.
  • Raio interno r(y) = distância do eixo ao ponto mais à esquerda x_{\text{esq}}=-y^{3/2}:
r(y)=\bigl(-y^{3/2}-(-9)\bigr)=9-y^{3/2}.
Esses são comprimentos não-negativos porque para 0\le y\le 4 temos y^{3/2}\le 4^{3/2}=8, logo 9-y^{3/2}\ge 1>0.

Passo 6

Escrever a área da seção transversal (arruela) em função de y. A área de uma arruela com raios externo R e interno r é
A=\pi\bigl(R^2-r^2\bigr).
Substituindo R(y) e r(y),
A(y)=\pi\Bigl((y^{3/2}+9)^2 - (9-y^{3/2})^2\Bigr).
Agora simplificamos a diferença de quadrados. Uma forma rápida de ver isso é usar a identidade (a+b)^2-(b-a)^2 = 4ab. Tomando a=y^{3/2} e b=9 obtemos
(y^{3/2}+9)^2 - (9-y^{3/2})^2 = 4\cdot 9\cdot y^{3/2} = 36\,y^{3/2}.
Portanto
A(y)=\pi\cdot 36\,y^{3/2}=36\pi\,y^{3/2}.

Passo 7

Montar a integral do volume usando as fatias horizontais. O volume é a integral da área das seções transversais em y de y=0 até y=4:
V=\int_{y=0}^{4} A(y)\,dy = \int_{0}^{4} 36\pi\,y^{3/2}\,dy.
Aqui y é a variável de integração, 36\pi é constante em relação a y.

Passo 8

Calcular a integral passo a passo. Primeiro identifique a primitiva de y^{3/2}. Usamos a regra de potência:
\int y^{p}\,dy = \frac{y^{p+1}}{p+1}\quad\text{para }p\neq -1.
Com p=\tfrac{3}{2} temos
\int y^{3/2}\,dy = \frac{y^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,y^{5/2}.
Portanto,
\int_{0}^{4} 36\pi\,y^{3/2}\,dy = 36\pi\cdot\frac{2}{5}\Bigl[y^{5/2}\Bigr]_{0}^{4} = \frac{72\pi}{5}\bigl(4^{5/2}-0\bigr).
Calculamos 4^{5/2}: 4^{1/2}=2 e 4^{5/2}=(4^{1/2})^5=2^5=32. Assim
V = \frac{72\pi}{5}\cdot 32 = \frac{72\cdot 32\,\pi}{5}.
Fazendo a multiplicação 72\cdot 32 = 2304, obtemos
V = \frac{2304\pi}{5}.

Passo 9

Verificação (opcional, mas didática) via método das cascas cilíndricas para conferir o resultado. Pelo método das cascas, cortando verticalmente em x\in[-8,8] cada fatia tem:
  • raio da casca = x - (-9) = x+9,
  • altura da casca = 4 - x^{2/3},
    e a fórmula é
V = 2\pi\int_{-8}^{8} (x+9)\bigl(4-x^{2/3}\bigr)\,dx.
Expandindo e observando paridade dos termos (alguns são ímpares e se anulam na integração simétrica) e calculando a parte que resta dá exatamente V=\dfrac{2304\pi}{5}. (Fiz a verificação para garantir consistência; o cálculo via arruelas é mais direto.)

Resposta

\displaystyle \frac{2304\pi}{5}

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