Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região
delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
ao redor do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno da reta vertical
. A região
é a parte do plano limitada pelas curvas
e
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- A fronteira inferior da região é o gráfico de
. - A fronteira superior da região é a reta horizontal
. - O eixo de rotação é a reta vertical
. - Para achar os limites da região em
ou em precisaremos saber onde as duas curvas se intersectam, ou seja, os pontos onde (vou determinar os valores numéricos dessas interseções nos passos seguintes).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre
e
. Devemos resolver a equação
Para isolar
, elevamos ambos os lados à potência
. Ao fazer isso lembramos que
e portanto aparecerão soluções simétricas em relação ao eixo
. Calculando:
Como a equação envolve
, tanto
quanto
satisfazem a igualdade. Calculando
:
Logo as interseções ocorrem em
Isto significa que a região
está entre
e
no sentido horizontal e entre
e
no sentido vertical (note que
, então o menor valor de
nessa região é
).
Passo 3
Descrever a região
de forma conveniente para integração. Como
é uma curva simétrica, podemos resolver para
em função de
:
Portanto, para cada valor de
entre
e
a região
tem segmento horizontal que vai de
até
. Essa descrição em termos de
é muito útil se usarmos a técnica de discos/arruelas (washers), porque o eixo de rotação é vertical e as fatias perpendiculares ao eixo serão fatias horizontais (uma fatia horizontal girada gera uma arruela).
Passo 4
Escolha do método de cálculo do volume e justificativa. Dois métodos comuns:
- Método das cascas cilíndricas (shells): integrar em
, usando cortes verticais; fórmula . - Método dos discos/arruelas (washers): integrar em
, usando cortes horizontais; fórmula .
Aqui eu escolho o método dos discos/arruelas porque:
- A descrição da região é simples em função de
(bordas em ). - Ao girar o segmento horizontal entre
e em torno de obtemos uma arruela com raios fáceis de escrever e a expressão para a área da seção transversal simplifica muito (vai reduzir a um termo simples em ). Isso gera uma integral direta e fácil de calcular à mão.
Passo 5
Construir os raios da arruela para um dado
. Para um
fixo o segmento horizontal tem extremidades
A distância de cada extremidade até o eixo
(esse eixo é vertical) dá os raios da arruela:
- Raio externo
= distância do eixo ao ponto mais à direita :
- Raio interno
= distância do eixo ao ponto mais à esquerda :
Esses são comprimentos não-negativos porque para
temos
, logo
.
Passo 6
Escrever a área da seção transversal (arruela) em função de
. A área de uma arruela com raios externo
e interno
é
Substituindo
e
,
Agora simplificamos a diferença de quadrados. Uma forma rápida de ver isso é usar a identidade
. Tomando
e
obtemos
Portanto
Passo 7
Montar a integral do volume usando as fatias horizontais. O volume é a integral da área das seções transversais em
de
até
:
Aqui
é a variável de integração,
é constante em relação a
.
Passo 8
Calcular a integral passo a passo. Primeiro identifique a primitiva de
. Usamos a regra de potência:
Com
temos
Portanto,
Calculamos
:
e
. Assim
Fazendo a multiplicação
, obtemos
Passo 9
Verificação (opcional, mas didática) via método das cascas cilíndricas para conferir o resultado. Pelo método das cascas, cortando verticalmente em
cada fatia tem:
- raio da casca
, - altura da casca
,
e a fórmula é
Expandindo e observando paridade dos termos (alguns são ímpares e se anulam na integração simétrica) e calculando a parte que resta dá exatamente
. (Fiz a verificação para garantir consistência; o cálculo via arruelas é mais direto.)