Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
y=\ln (\cos (x)), \quad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede encontrar o comprimento de arco da curva y=\ln(\cos(x)) no intervalo 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}.
Informações dadas: a função y=\ln(\cos(x)) e o intervalo de integração [0,\tfrac{\pi}{4}].
Pergunta: calcular o comprimento de arco L dessa curva nesse intervalo.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (essa é a fórmula padrão de comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x) em [a,b]):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx,
onde y'(x) é a derivada de y em relação a x.
Explicando: a expressão 1+(y')^2 vem da soma dos quadrados dos incrementos horizontais e verticais quando aproximamos o arco por segmentos retos; a raiz dá o comprimento diferencial e a integral soma esses pequenos comprimentos ao longo do intervalo.

Passo 3

Calcula-se a derivada y'(x) de y=\ln(\cos(x)):
y'(x)=\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{d}{dx}\cos x=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tan x.
Aqui usei a regra da cadeia: derivada de \ln(u) é u'/u, com u=\cos x.

Passo 4

Substituímos y'(x)=-\tan x na fórmula do comprimento:
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}=\sqrt{1+\tan^2 x}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental 1+\tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x, logo
\sqrt{1+\tan^2 x}=\sqrt{\operatorname{sec}^2 x}=|\operatorname{sec} x|.
Observação importante: o valor absoluto aparece porque a raiz quadrada dá um número não negativo. No nosso intervalo 0\le x\le \tfrac{\pi}{4} temos \cos x>0, então \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}>0 e podemos tirar o valor absoluto:
\sqrt{1+\tan^2 x}=\operatorname{sec} x\quad\text{para }0\le x\le \tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Portanto o comprimento é
L=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{sec} x\,dx.
Agora vou integrar \operatorname{sec} x. Uma forma padrão é multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} e fazer substituição. Faço os passos:
\int \operatorname{sec} x\,dx=\int \operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx =\int\frac{\operatorname{sec}^2 x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Se fizermos a substituição u=\operatorname{sec} x+\tan x, então
du=(\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x)\,dx,
logo o numerador é exatamente du e obtemos
\int \operatorname{sec} x\,dx=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C.
Assim um antiderivado de \operatorname{sec} x é \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|.

Passo 6

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo para a integral definida:
L=\left[\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\ln\!\bigl(\operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{4})+\tan(\tfrac{\pi}{4})\bigr)-\ln\!\bigl(\operatorname{sec} 0+\tan 0\bigr).
Calculando os valores trigonométricos:
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt{2},\qquad \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1,
\operatorname{sec} 0=1,\qquad \tan 0=0.
Substituindo:
L=\ln\!(\sqrt{2}+1)-\ln(1)=\ln\!(\sqrt{2}+1),
pois \ln(1)=0.

Resposta

\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)

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