Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas: y=\ln (\cos (x)), \quad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}
Passo 1
O enunciado pede encontrar o comprimento de arco da curva y=\ln(\cos(x)) no intervalo 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}.
Informações dadas: a função y=\ln(\cos(x)) e o intervalo de integração [0,\tfrac{\pi}{4}].
Pergunta: calcular o comprimento de arco L dessa curva nesse intervalo.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (essa é a fórmula padrão de comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x) em [a,b]):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx,
onde y'(x) é a derivada de y em relação a x.
Explicando: a expressão 1+(y')^2 vem da soma dos quadrados dos incrementos horizontais e verticais quando aproximamos o arco por segmentos retos; a raiz dá o comprimento diferencial e a integral soma esses pequenos comprimentos ao longo do intervalo.
Observação importante: o valor absoluto aparece porque a raiz quadrada dá um número não negativo. No nosso intervalo 0\le x\le \tfrac{\pi}{4} temos \cos x>0, então \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}>0 e podemos tirar o valor absoluto:
Agora vou integrar \operatorname{sec} x. Uma forma padrão é multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} e fazer substituição. Faço os passos: