Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y^{3}=x, \quad x=2 y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região R limitada pelas curvas
y^{3}=x
e
x=2y.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  1. As duas curvas são dadas explicitamente como funções x em termos de y.
  2. A rotação é em torno do eixo y.
  3. Precisamos o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método de cálculo do volume — justificativa didática.
Vou usar o método dos discos/aros (washers), integrando em y. Explico por quê, de forma simples e prática:
  • Quando a rotação é em torno do eixo y e as curvas estão dadas como x=f(y), fica muito natural usar fatias horizontais em altura y. Cada fatia, ao girar, gera um anel (washer) cujo volume elemental é
dV = \pi\big(R(y)^2 - r(y)^2\big)\,dy,
onde R(y) é o raio externo (distância maior da fatia ao eixo y) e r(y) é o raio interno (distância menor).
  • Outra opção seria o método das cascas cilíndricas (shells), integrando em x, mas aqui as expressões já vêm em função de y, então usar washers é mais direto e requer menos divisão do intervalo.

Passo 3

Achar os pontos de interseção (limites em y) — passo necessário para os limites de integração.
Igualamos as duas curvas:
y^{3}=2y.
Colocando tudo no mesmo lado:
y^{3}-2y=0.
Fatorando:
y(y^{2}-2)=0.
Portanto as soluções são
y=0,\quad y=\pm\sqrt{2}.
Esses três valores de y são os pontos onde as curvas se encontram; a região R está entre y=-\sqrt{2} e y=\sqrt{2}.

Passo 4

Entender, para cada y no intervalo [-\sqrt{2},\sqrt{2}], qual curva fica mais distante do eixo y (ou seja, qual dá o raio externo).
As curvas dão x em função de y: x_{1}(y)=y^{3} e x_{2}(y)=2y.
A distância ao eixo y é o valor absoluto de x: |x|. Vamos comparar |y^{3}| e |2y|.
Note que |y^{3}| = |y|^{3} e |2y| = 2|y|. Para |y|\le\sqrt{2} tem-se sempre
2|y| \ge |y|^{3}
porque isso equivale a 2\ge |y|^{2}, verdadeiro no intervalo considerado. Logo, para todo y\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}],
o raio externo é
R(y)=|2y|=2|y|
e o raio interno é
r(y)=|y^{3}|=|y|^{3}.
Observação importante (didática): não importa o sinal de y (positivo ou negativo), ao girar em torno do eixo y usamos distâncias positivas, e ao elevar ao quadrado essas barras de valor absoluto desaparecem porque as potências são pares — isso simplifica a integral.

Passo 5

Escrever a integral para o volume usando a fórmula do washer/disk.
A fórmula elemental é
dV=\pi\big(R(y)^2-r(y)^2\big)\,dy.
Substituindo R(y)=2|y| e r(y)=|y|^{3},
dV=\pi\big((2|y|)^2 - (|y|^3)^2\big)\,dy =\pi\big(4y^2 - y^6\big)\,dy,
onde eu já usei que |y|^2=y^2 e |y|^6=y^6. Assim o volume é
V=\int_{y=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \pi\big(4y^2 - y^6\big)\,dy.

Passo 6

Simplificar a integral usando simetria (dica prática).
A função integrada 4y^2 - y^6 é par (ou seja, f(-y)=f(y)), porque só há potências pares de y. Para integrais de função par em um intervalo simétrico [ -a,a] vale
\int_{-a}^{a} f(y)\,dy = 2\int_{0}^{a} f(y)\,dy.
Aplicando aqui com a=\sqrt{2}:
V = \pi\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4y^2 - y^6)\,dy = 2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}} (4y^2 - y^6)\,dy.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo (mostrando as primitivas).
Primeiro as primitivas termo a termo:
\int 4y^2\,dy = 4\cdot\frac{y^{3}}{3} = \frac{4}{3}y^{3},
\int y^6\,dy = \frac{y^{7}}{7}.
Portanto
\int_{0}^{\sqrt{2}} (4y^2 - y^6)\,dy = \left[\frac{4}{3}y^{3} - \frac{y^{7}}{7}\right]_{0}^{\sqrt{2}}.
Agora avaliamos nas bordas. Primeiro calculamos as potências de \sqrt{2}:
(\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2}, \qquad (\sqrt{2})^{7} = 2^{7/2} = 8\sqrt{2}.
Substituindo:
\left.\frac{4}{3}y^{3} - \frac{y^{7}}{7}\right|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{4}{3}\cdot 2\sqrt{2} - \frac{1}{7}\cdot 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{7}.

Passo 8

Combinar os termos e multiplicar por 2\pi.
Colocando a expressão sobre um denominador comum:
\frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{7} = 8\sqrt{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right) =8\sqrt{2}\cdot\frac{7-3}{21} =8\sqrt{2}\cdot\frac{4}{21} =\frac{32\sqrt{2}}{21}.
Lembrando do fator 2\pi que tínhamos no Passo 6:
V = 2\pi \cdot \frac{32\sqrt{2}}{21} = \frac{64\sqrt{2}\,\pi}{21}.

Resposta

\displaystyle \frac{64\sqrt{2}\,\pi}{21}

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