Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas: y^{3}=x, \quad x=2 y
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região R limitada pelas curvas
y^{3}=x
e
x=2y.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
As duas curvas são dadas explicitamente como funções x em termos de y.
A rotação é em torno do eixo y.
Precisamos o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método de cálculo do volume — justificativa didática.
Vou usar o método dos discos/aros (washers), integrando em y. Explico por quê, de forma simples e prática:
Quando a rotação é em torno do eixo y e as curvas estão dadas como x=f(y), fica muito natural usar fatias horizontais em altura y. Cada fatia, ao girar, gera um anel (washer) cujo volume elemental é
dV = \pi\big(R(y)^2 - r(y)^2\big)\,dy,
onde R(y) é o raio externo (distância maior da fatia ao eixo y) e r(y) é o raio interno (distância menor).
Outra opção seria o método das cascas cilíndricas (shells), integrando em x, mas aqui as expressões já vêm em função de y, então usar washers é mais direto e requer menos divisão do intervalo.
Passo 3
Achar os pontos de interseção (limites em y) — passo necessário para os limites de integração.
Igualamos as duas curvas:
y^{3}=2y.
Colocando tudo no mesmo lado:
y^{3}-2y=0.
Fatorando:
y(y^{2}-2)=0.
Portanto as soluções são
y=0,\quad y=\pm\sqrt{2}.
Esses três valores de y são os pontos onde as curvas se encontram; a região R está entre y=-\sqrt{2} e y=\sqrt{2}.
Passo 4
Entender, para cada y no intervalo [-\sqrt{2},\sqrt{2}], qual curva fica mais distante do eixo y (ou seja, qual dá o raio externo).
As curvas dão x em função de y: x_{1}(y)=y^{3} e x_{2}(y)=2y.
A distância ao eixo y é o valor absoluto de x: |x|. Vamos comparar |y^{3}| e |2y|.
Note que |y^{3}| = |y|^{3} e |2y| = 2|y|. Para |y|\le\sqrt{2} tem-se sempre
2|y| \ge |y|^{3}
porque isso equivale a 2\ge |y|^{2}, verdadeiro no intervalo considerado. Logo, para todo y\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}],
o raio externo é
R(y)=|2y|=2|y|
e o raio interno é
r(y)=|y^{3}|=|y|^{3}.
Observação importante (didática): não importa o sinal de y (positivo ou negativo), ao girar em torno do eixo y usamos distâncias positivas, e ao elevar ao quadrado essas barras de valor absoluto desaparecem porque as potências são pares — isso simplifica a integral.
Passo 5
Escrever a integral para o volume usando a fórmula do washer/disk.
A fórmula elemental é
Simplificar a integral usando simetria (dica prática).
A função integrada 4y^2 - y^6 é par (ou seja, f(-y)=f(y)), porque só há potências pares de y. Para integrais de função par em um intervalo simétrico [ -a,a] vale