Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y=\ln x, \quad y=0, \quad y=1, e x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região R limitada pelas curvas:
y=\ln x,\qquad y=0,\qquad y=1,\qquad x=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i) } y=\ln x; \qquad \text{(ii) } y=0; \qquad \text{(iii) } y=1; \qquad \text{(iv) } x=0.
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região R em torno do eixo x.

Passo 2

Descrevendo geometricamente a região R. A curva y=\ln x pode ser reescrita como
x=e^{y}.
As retas horizontais y=0 e y=1 interceptam a curva em x=1 (quando y=0) e em x=e (quando y=1). A linha x=0 é o eixo y (eixo vertical) e serve como limite à esquerda. Portanto, para cada y entre 0 e 1 a região vai de x=0 até x=e^{y}. Logo podemos descrever R como
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; 0\le x\le e^{y}\}.
Observação: escrevi assim porque y=\ln x não está definida para x\le 0, mas ao reescrever como x=e^{y} obtemos uma descrição válida do limite direito em função de y.

Passo 3

Escolha do método de integração para obter o volume. Duas opções comuns:
  • Método dos discos/anes (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).
  • Método dos casquilhos cilíndricos (shells) (fatias paralelas ao eixo de rotação).
Aqui a rotação é em torno do eixo x. Como descrevemos bem a região em termos de y (temos x como função de y: x=e^{y}), é natural usar o método dos casquilhos cilíndricos tomando fatias horizontais (espessura dy). O método dos discos exigiria expressar os limites em função de x e seria mais complicado porque a fronteira esquerda é x=0 e a fronteira direita é x=e^{y} (função invertida). Por isso o método dos casquilhos é mais direto aqui.

Passo 4

Apresentação e explicação da fórmula do método dos casquilhos (shell method). Para rotação em torno do eixo x, uma fatia horizontal situada em altura y gera um casquilho cilíndrico de:
  • raio igual à distância da fatia ao eixo x, isto é raio =\;y;
  • altura igual ao comprimento horizontal da região nessa altura, isto é altura =\;x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=e^{y}-0=e^{y};
  • espessura igual a dy.
A fórmula do volume pelo método dos casquilhos é
V = 2\pi \int_{y=a}^{y=b} (\text{raio})\times(\text{altura})\,dy.
Aqui os limites são a=0 e b=1, raio =y e altura =e^{y}. Portanto o integral a calcular é
V = 2\pi \int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy.

Passo 5

Montagem explícita do integral e preparação para resolver:
V = 2\pi \int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy.
Agora vamos calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy. Para isso usamos integração por partes.

Passo 6

Lembrete e aplicação da fórmula de integração por partes. A fórmula geral é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de modo a facilitar o cálculo. No nosso caso é conveniente escolher:
u=y,\qquad dv=e^{y}\,dy.
Então:
du = dy,\qquad v = e^{y}.
Aplicando a fórmula:
\int y\,e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1)+C.

Passo 7

Avaliação do integral definido de 0 a 1. Usando a primitiva encontrada:
\int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy = \left[e^{y}(y-1)\right]_{0}^{1}.
Calculemos nos extremos:
\text{em } y=1:\quad e^{1}(1-1)=e\cdot 0=0,
\text{em } y=0:\quad e^{0}(0-1)=1\cdot(-1)=-1.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy = 0 - (-1) = 1.

Passo 8

Conclusão do volume multiplicando pelo fator 2\pi:
V = 2\pi \cdot 1 = 2\pi.
Interpretação rápida: o sólido obtido tem volume 2\pi (unidades de volume dependendo das unidades do sistema).

Resposta

2\pi

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