Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
, e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
limitada pelas curvas:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região
em torno do eixo
.
Passo 2
Descrevendo geometricamente a região
. A curva
pode ser reescrita como
As retas horizontais
e
interceptam a curva em
(quando
) e em
(quando
). A linha
é o eixo
(eixo vertical) e serve como limite à esquerda. Portanto, para cada
entre
e
a região vai de
até
. Logo podemos descrever
como
Observação: escrevi assim porque
não está definida para
, mas ao reescrever como
obtemos uma descrição válida do limite direito em função de
.
Passo 3
Escolha do método de integração para obter o volume. Duas opções comuns:
- Método dos discos/anes (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).
- Método dos casquilhos cilíndricos (shells) (fatias paralelas ao eixo de rotação).
Aqui a rotação é em torno do eixo
. Como descrevemos bem a região em termos de
(temos
como função de
:
), é natural usar o método dos casquilhos cilíndricos tomando fatias horizontais (espessura
). O método dos discos exigiria expressar os limites em função de
e seria mais complicado porque a fronteira esquerda é
e a fronteira direita é
(função invertida). Por isso o método dos casquilhos é mais direto aqui.
Passo 4
Apresentação e explicação da fórmula do método dos casquilhos (shell method). Para rotação em torno do eixo
, uma fatia horizontal situada em altura
gera um casquilho cilíndrico de:
- raio igual à distância da fatia ao eixo
, isto é raio ; - altura igual ao comprimento horizontal da região nessa altura, isto é altura
; - espessura igual a
.
A fórmula do volume pelo método dos casquilhos é
Aqui os limites são
e
, raio
e altura
. Portanto o integral a calcular é
Passo 5
Montagem explícita do integral e preparação para resolver:
Agora vamos calcular a integral
. Para isso usamos integração por partes.
Passo 6
Lembrete e aplicação da fórmula de integração por partes. A fórmula geral é
onde escolhemos
e
de modo a facilitar o cálculo. No nosso caso é conveniente escolher:
Então:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Avaliação do integral definido de
a
. Usando a primitiva encontrada:
Calculemos nos extremos:
Subtraindo:
Passo 8
Conclusão do volume multiplicando pelo fator
:
Interpretação rápida: o sólido obtido tem volume
(unidades de volume dependendo das unidades do sistema).