Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
, e
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A primeira curva é
. - A segunda curva é
. - A região
é a região do plano delimitada pelos gráficos dessas duas curvas. - A rotação é feita em torno do eixo
.
A pergunta que precisamos responder é: qual é o volume do sólido de revolução obtido ao girarem torno do eixo ?
Passo 2
Primeiro precisamos achar os pontos de interseção entre as duas curvas para determinar os limites da região. Para isso resolvemos o sistema formado por
e
Substituindo
da reta em termos de
(ou
em termos de
), é mais direto usar
da reta e substituir na parábola:
Passando todos os termos para um lado:
Logo as soluções são
e
. Correspondendo a
, temos os pontos de interseção
e
, pois para
temos
.
Passo 3
Agora escolhemos o método para calcular o volume. Duas opções clássicas são o método dos discos/anelos (washers) e o método das cascas cilíndricas (shells). Vou usar o método das cascas cilíndricas porque:
- As curvas são mais simples quando escritas como
em função de (temos e ), então é natural integrar em . - Ao girar um segmento horizontal (fixo
) em torno do eixo obtemos uma casca cilíndrica cuja altura é — isso dá uma integral simples em .
Vou explicar a fórmula das cascas antes de aplicar: pegue uma faixa horizontal na altura
com espessura
. Ao girá-la em torno do eixo
ela descreve uma casca de raio igual à distância da faixa ao eixo
, ou seja, raio
. A altura da casca é a extensão horizontal da região nessa mesma altura, isto é,
O volume aproximado dessa casca é
Somando (integrando) essas cascas de até
obtemos o volume total:
Somando (integrando) essas cascas de
Passo 4
Identificamos
em função de
nas duas curvas:
- Da parábola
temos (essa é a curva mais à esquerda para ). - Da reta
temos (essa é a curva mais à direita para ).
Então a altura da casca é
Os limites em
são de
a
, conforme os pontos de interseção que achamos.
Passo 5
Montamos a integral pelo método das cascas:
Passo 6
Simplificamos a integranda e integramos termo a termo. Primeiro distribuir:
Portanto
Calculemos as primitivas:
Assim a primitiva completa é
Passo 7
Avaliamoa primitiva entre
e
:
Calculemos os termos:
Portanto