Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y^{2}=16 x, e y=4 x

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A primeira curva é \;y^{2}=16x\;.
  • A segunda curva é \;y=4x\;.
  • A região R é a região do plano delimitada pelos gráficos dessas duas curvas.
  • A rotação é feita em torno do eixo x.
    A pergunta que precisamos responder é: qual é o volume do sólido de revolução obtido ao girar R em torno do eixo x?

Passo 2

Primeiro precisamos achar os pontos de interseção entre as duas curvas para determinar os limites da região. Para isso resolvemos o sistema formado por
y^{2}=16x
e
y=4x.
Substituindo x da reta em termos de y (ou y em termos de x), é mais direto usar x=\dfrac{y}{4} da reta e substituir na parábola:
y^{2}=16\left(\dfrac{y}{4}\right)=4y.
Passando todos os termos para um lado:
y^{2}-4y=0\quad\Rightarrow\quad y(y-4)=0.
Logo as soluções são \;y=0\; e \;y=4\;. Correspondendo a x=\dfrac{y}{4}, temos os pontos de interseção (0,0) e (1,4), pois para y=4 temos x=4/4=1.

Passo 3

Agora escolhemos o método para calcular o volume. Duas opções clássicas são o método dos discos/anelos (washers) e o método das cascas cilíndricas (shells). Vou usar o método das cascas cilíndricas porque:
  • As curvas são mais simples quando escritas como x em função de y (temos x=\dfrac{y^2}{16} e x=\dfrac{y}{4}), então é natural integrar em y.
  • Ao girar um segmento horizontal (fixo y) em torno do eixo x obtemos uma casca cilíndrica cuja altura é x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} — isso dá uma integral simples em y.
Vou explicar a fórmula das cascas antes de aplicar: pegue uma faixa horizontal na altura y com espessura dy. Ao girá-la em torno do eixo x ela descreve uma casca de raio igual à distância da faixa ao eixo x, ou seja, raio =y. A altura da casca é a extensão horizontal da região nessa mesma altura, isto é,
\text{altura} = x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y).
O volume aproximado dessa casca é \text{circunferência}\times\text{altura}\times\text{espessura} = 2\pi\cdot (\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dy = 2\pi y\big(x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}\big)dy.ê
Somando (integrando) essas cascas de y=y_{\min} até y=y_{\max} obtemos o volume total:
V = \int_{y_{\min}}^{y_{\max}} 2\pi y\big(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\big)\,dy.

Passo 4

Identificamos x em função de y nas duas curvas:
  • Da parábola y^{2}=16x temos \;x=\dfrac{y^{2}}{16} (essa é a curva mais à esquerda para 0\le y\le4).
  • Da reta y=4x temos \;x=\dfrac{y}{4} (essa é a curva mais à direita para 0\le y\le4).
    Então a altura da casca é
x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=\frac{y}{4}-\frac{y^{2}}{16}.
Os limites em y são de y=0 a y=4, conforme os pontos de interseção que achamos.

Passo 5

Montamos a integral pelo método das cascas:
V = \int_{0}^{4} 2\pi y\left(\frac{y}{4}-\frac{y^{2}}{16}\right)\,dy.

Passo 6

Simplificamos a integranda e integramos termo a termo. Primeiro distribuir:
2\pi y\left(\frac{y}{4}-\frac{y^{2}}{16}\right)=2\pi\left(\frac{y^{2}}{4}-\frac{y^{3}}{16}\right).
Portanto
V=2\pi\int_{0}^{4}\left(\frac{y^{2}}{4}-\frac{y^{3}}{16}\right)dy.
Calculemos as primitivas:
\int \frac{y^{2}}{4}\,dy=\frac{1}{4}\cdot\frac{y^{3}}{3}=\frac{y^{3}}{12}, \qquad \int \frac{y^{3}}{16}\,dy=\frac{1}{16}\cdot\frac{y^{4}}{4}=\frac{y^{4}}{64}.
Assim a primitiva completa é
2\pi\left(\frac{y^{3}}{12}-\frac{y^{4}}{64}\right).

Passo 7

Avaliamoa primitiva entre y=0 e y=4:
V=2\pi\left[\frac{y^{3}}{12}-\frac{y^{4}}{64}\right]_{0}^{4} =2\pi\left(\frac{4^{3}}{12}-\frac{4^{4}}{64}\right).
Calculemos os termos:
\frac{4^{3}}{12}=\frac{64}{12}=\frac{16}{3}, \qquad \frac{4^{4}}{64}=\frac{256}{64}=4.
Portanto
V=2\pi\left(\frac{16}{3}-4\right)=2\pi\left(\frac{16-12}{3}\right)=2\pi\cdot\frac{4}{3}=\frac{8\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}

Exercícios relacionados