Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
, e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
limitada pelas curvas
e
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As duas curvas são
(parábola com concavidade para a direita) e (reta). - A região
é aquela fechada pelas duas curvas (onde elas se cruzam). - O eixo de revolução é o eixo
.
O que se pede: calcular o volume do sólido de revolução gerado porao girar em torno do eixo .
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das curvas (isso indica os limites da região).
Resolvemos o sistema formado por e
. Substituindo
da reta na parábola:
Resolvemos o sistema formado por
Reorganizando:
Logo as soluções são
e
. Para esses valores de
, os correspondentes
são, usando
:
Portanto as curvas se intersectam nos pontos
e
. A região
corresponde a
(ou, projetando em
,
).
Passo 3
Escolha do método de integração e justificativa rápida.
Vou usar o método dos discos/arruelas (washers), integrando em . Justificativa: o eixo de rotação é o eixo
, e para cada
entre
e
a região vertical entre as curvas tem uma “altura” dada por duas funções
(uma acima, outra abaixo), então a fórmula das arruelas é direta e simples. (Observação: também poderia usar o método dos cilindros (casca) integrando em
, e daria o mesmo resultado.)
Vou usar o método dos discos/arruelas (washers), integrando em
Passo 4
Explicar a fórmula das arruelas e identificar
e
.
Quando uma região é girada em torno do eixo , o volume pode ser obtido por
Quando uma região é girada em torno do eixo
onde
é o raio externo (a função
mais alta, medida em relação ao eixo
) e
é o raio interno (a função
mais baixa), para cada
no intervalo
. Aqui precisamos escrever as curvas como funções
de
.
Da curva obtemos a parte superior
(consideramos
porque as interseções têm
e a região está acima do eixo
). Da reta
obtemos
.
Para temos
(verificação rápida em um ponto interior, por exemplo
:
), então
Da curva
Para
e os limites de integração são
e
.
Passo 5
Montar o integral do volume.
Aplicando a fórmula das arruelas:
Aplicando a fórmula das arruelas:
Simplificando as potências:
portanto
Passo 6
Calcular a integral indefinida e depois a definida, explicando cada termo.
Calculemos antiderivadas termo a termo. Para a antiderivada é
. Para
a antiderivada é
(porque
e dividindo por
dá
). Assim:
Calculemos antiderivadas termo a termo. Para
Agora avaliamos de
a
:
Calculemos os termos numericamente:
Portanto a integral definida vale
Para somar as frações, colocamos em denominador comum
:
Lembremos do fator
que estava fora da integral; assim o volume é
Passo 7
Verificação rápida por método alternativo (casca cilíndrica) — só para confirmar e fixar a ideia.
Usando cascas (integrando em ) teríamos raio da casca
, altura
, e a fórmula das cascas dá
Usando cascas (integrando em
Antiderivada:
,
o mesmo resultado, ótimo — confirmação feita.
o mesmo resultado, ótimo — confirmação feita.