Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y^{2}=x, e x=2 y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada pelas curvas
y^{2}=x
e
x=2y.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As duas curvas são y^{2}=x (parábola com concavidade para a direita) e x=2y (reta).
  • A região R é aquela fechada pelas duas curvas (onde elas se cruzam).
  • O eixo de revolução é o eixo x.
    O que se pede: calcular o volume do sólido de revolução gerado por R ao girar em torno do eixo x.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das curvas (isso indica os limites da região).
Resolvemos o sistema formado por y^{2}=x e x=2y. Substituindo x da reta na parábola:
y^{2}=2y.
Reorganizando:
y^{2}-2y=0
y(y-2)=0.
Logo as soluções são \,y=0 e \,y=2. Para esses valores de y, os correspondentes x são, usando x=2y:
y=0\Rightarrow x=0,\qquad y=2\Rightarrow x=4.
Portanto as curvas se intersectam nos pontos (0,0) e (4,2). A região R corresponde a 0\le y\le 2 (ou, projetando em x, 0\le x\le 4).

Passo 3

Escolha do método de integração e justificativa rápida.
Vou usar o método dos discos/arruelas (washers), integrando em x. Justificativa: o eixo de rotação é o eixo x, e para cada x entre 0 e 4 a região vertical entre as curvas tem uma “altura” dada por duas funções y (uma acima, outra abaixo), então a fórmula das arruelas é direta e simples. (Observação: também poderia usar o método dos cilindros (casca) integrando em y, e daria o mesmo resultado.)

Passo 4

Explicar a fórmula das arruelas e identificar R e r.
Quando uma região é girada em torno do eixo x, o volume pode ser obtido por
V=\pi\int_{x=a}^{x=b}\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx,
onde R(x) é o raio externo (a função y mais alta, medida em relação ao eixo x) e r(x) é o raio interno (a função y mais baixa), para cada x no intervalo [a,b]. Aqui precisamos escrever as curvas como funções y de x.
Da curva y^{2}=x obtemos a parte superior y=\sqrt{x} (consideramos y\ge0 porque as interseções têm y\ge0 e a região está acima do eixo x). Da reta x=2y obtemos y=\dfrac{x}{2}.
Para 0\le x\le 4 temos \sqrt{x}\ge \dfrac{x}{2} (verificação rápida em um ponto interior, por exemplo x=1: 1\ge0{,}5), então
R(x)=\sqrt{x},\qquad r(x)=\frac{x}{2},
e os limites de integração são a=0 e b=4.

Passo 5

Montar o integral do volume.
Aplicando a fórmula das arruelas:
V=\pi\int_{0}^{4}\Big(\big(\sqrt{x}\big)^{2}-\Big(\frac{x}{2}\Big)^{2}\Big)\,dx.
Simplificando as potências:
\big(\sqrt{x}\big)^{2}=x,\qquad \Big(\frac{x}{2}\Big)^{2}=\frac{x^{2}}{4},
portanto
V=\pi\int_{0}^{4}\Big(x-\frac{x^{2}}{4}\Big)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral indefinida e depois a definida, explicando cada termo.
Calculemos antiderivadas termo a termo. Para \,x a antiderivada é \dfrac{x^{2}}{2}. Para \dfrac{x^{2}}{4} a antiderivada é \dfrac{x^{3}}{12} (porque \int x^{2}dx=\dfrac{x^{3}}{3} e dividindo por 4 \dfrac{x^{3}}{12}). Assim:
\int\Big(x-\frac{x^{2}}{4}\Big)\,dx=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{12}+C.
Agora avaliamos de 0 a 4:
\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4} = \left(\frac{4^{2}}{2}-\frac{4^{3}}{12}\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{12}\right).
Calculemos os termos numericamente:
\frac{4^{2}}{2}=\frac{16}{2}=8, \qquad \frac{4^{3}}{12}=\frac{64}{12}=\frac{16}{3}.
Portanto a integral definida vale
8-\frac{16}{3}.
Para somar as frações, colocamos em denominador comum 3:
8=\frac{24}{3}, \qquad 8-\frac{16}{3}=\frac{24}{3}-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}.
Lembremos do fator \pi que estava fora da integral; assim o volume é
V=\pi\cdot\frac{8}{3}=\frac{8\pi}{3}.

Passo 7

Verificação rápida por método alternativo (casca cilíndrica) — só para confirmar e fixar a ideia.
Usando cascas (integrando em y) teríamos raio da casca =y, altura =x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=2y-y^{2}, e a fórmula das cascas dá
V=2\pi\int_{0}^{2}y(2y-y^{2})\,dy =2\pi\int_{0}^{2}(2y^{2}-y^{3})\,dy.
Antiderivada: 2\pi\big(\tfrac{2}{3}y^{3}-\tfrac{1}{4}y^{4}\big)\big|_{0}^{2} =2\pi\big(\tfrac{16}{3}-4\big) =2\pi\cdot\frac{4}{3}=\frac{8\pi}{3},
o mesmo resultado, ótimo — confirmação feita.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}

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