Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y=x^{2}, e y=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada pelos gráficos das curvas y=x^{2} e y=x^{3}.
Informações dadas: as duas curvas são y=x^{2} e y=x^{3}.
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução gerado ao girar a região R em torno do eixo x.

Passo 2

Precisamos primeiro determinar onde a região R está localizada, isto é, os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites em x. Igualando as funções:
x^{2}=x^{3}
Passo a passo para resolver isso: subtrai-se x^{2} dos dois lados e fatoramos:
x^{3}-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}(x-1)=0.
As soluções são x=0 e x=1. Portanto as curvas se encontram em x=0 e x=1. A região limitada entre elas está, então, no intervalo [0,1].

Passo 3

Agora é importante saber qual curva é a “superior” (maior y) e qual é a “inferior” no intervalo [0,1], porque isso define os raios quando giramos em torno do eixo x. Para 0<x<1 temos 0<x<1\Rightarrow x^{2}>x^{3} (pois multiplicar um número entre 0 e 1 por ele mesmo o torna menor). Logo, no intervalo [0,1] a curva superior é y=x^{2} e a inferior é y=x^{3}.

Passo 4

Escolhemos o método dos discos/“washers” (anéis): ao cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo x num x fixo, a seção é um anel circular cuja área é a área do disco externo menos a do disco interno. Se R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno, a área da secção é
\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big),
e o volume total é a integral dessa área ao longo de x entre os limites de integração:
V=\int_{a}^{b}\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx.
Aqui o raio externo é a distância do eixo x até a curva superior y=x^{2}, portanto R(x)=x^{2}. O raio interno é a distância do eixo x até a curva inferior y=x^{3}, portanto r(x)=x^{3}. Os limites são a=0 e b=1.

Passo 5

Substituímos na fórmula do volume:
V=\int_{0}^{1}\pi\big((x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}\big)\,dx
Calcular os quadrados:
(x^{2})^{2}=x^{4},\qquad (x^{3})^{2}=x^{6}.
Assim
V=\pi\int_{0}^{1}\big(x^{4}-x^{6}\big)\,dx.

Passo 6

Agora integramos termo a termo usando a regra da potência: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando isso a x^{4} e x^{6}:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5},\qquad \int x^{6}\,dx=\frac{x^{7}}{7}.
Portanto a antiderivada do integrando é \displaystyle \frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}. Multiplicando por \pi e avaliando de 0 a 1:
V=\pi\left[\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{1} =\pi\left(\frac{1^{5}}{5}-\frac{1^{7}}{7}\right)-\pi\left(0\right).

Passo 7

Simplificamos a expressão numérica:
\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7-5}{35}=\frac{2}{35}.
Logo
V=\pi\cdot\frac{2}{35}=\frac{2\pi}{35}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{35}

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