Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
, e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
limitada pelos gráficos das curvas
e
.
Informações dadas: as duas curvas são e
.
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução gerado ao girar a região em torno do eixo
.
Informações dadas: as duas curvas são
Pergunta: calcular o volume do sólido de revolução gerado ao girar a região
Passo 2
Precisamos primeiro determinar onde a região
está localizada, isto é, os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites em
. Igualando as funções:
Passo a passo para resolver isso: subtrai-se
dos dois lados e fatoramos:
As soluções são
e
. Portanto as curvas se encontram em
e
. A região limitada entre elas está, então, no intervalo
.
Passo 3
Agora é importante saber qual curva é a “superior” (maior
) e qual é a “inferior” no intervalo
, porque isso define os raios quando giramos em torno do eixo
. Para
temos
(pois multiplicar um número entre 0 e 1 por ele mesmo o torna menor). Logo, no intervalo
a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Escolhemos o método dos discos/“washers” (anéis): ao cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo
num
fixo, a seção é um anel circular cuja área é a área do disco externo menos a do disco interno. Se
é o raio externo e
o raio interno, a área da secção é
e o volume total é a integral dessa área ao longo de
entre os limites de integração:
Aqui o raio externo é a distância do eixo
até a curva superior
, portanto
. O raio interno é a distância do eixo
até a curva inferior
, portanto
. Os limites são
e
.
Passo 5
Substituímos na fórmula do volume:
Calcular os quadrados:
Assim
Passo 6
Agora integramos termo a termo usando a regra da potência: para qualquer
,
Aplicando isso a
e
:
Portanto a antiderivada do integrando é
. Multiplicando por
e avaliando de
a
:
Passo 7
Simplificamos a expressão numérica:
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