Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y=\ln x, y=-1, y=2 e x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região R limitada por \displaystyle y=\ln x, \displaystyle y=-1, \displaystyle y=2 e \displaystyle x=0.
O conteúdo usado será o método de discos (washers) com fatias horizontais em função de y.

Passo 2

Expressamos R em coordenadas (x,y). Para um dado y entre -1 e 2, a região vai de x=0 até a curva x=e^y. Assim
R = \bigl\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\\\ 0\le x\le e^y\bigr\}.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo y, cada fatia horizontal gera um disco de raio externo
R(y)=e^y
e raio interno
r(y)=0.
O volume elementar é
dV = \pi\bigl[R(y)^2 - r(y)^2\bigr]\,dy = \pi e^{2y}\,dy.

Passo 4

Integramos y de -1 a 2:
V = \int_{y=-1}^{2} \pi e^{2y}\,dy.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int e^{2y}\,dy = \frac{e^{2y}}{2},
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V = \pi\left[\frac{e^{2y}}{2}\right]_{y=-1}^{2} = \frac{\pi}{2}\bigl(e^{4} - e^{-2}\bigr).

Resposta

V = \frac{\pi}{2}\bigl(e^{4} - e^{-2}\bigr).

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