Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}+x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}+x^{3}.
O conteúdo que vamos usar é a regra da potência, que diz que
\frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro reescrevemos cada termo em potências de x: \sqrt{x}=x^{1/2} e \tfrac1{x^2}=x^{-2}.
Logo
f(x)=x^{\tfrac12}+x^{-2}+x^{3}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência termo a termo:
  • Derivada de x^{\tfrac12} é \tfrac12\,x^{\tfrac12-1}=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}.
  • Derivada de x^{-2} é -2\,x^{-2-1}=-2\,x^{-3}.
  • Derivada de x^{3} é 3\,x^{3-1}=3\,x^{2}.
Portanto,
f'(x)=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}-2\,x^{-3}+3\,x^{2}.

Passo 4

Só falta voltar à notação de raiz e fração:
f'(x)=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}-\frac{2}{x^{3}}+3\,x^{2}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^{3}}+3x^{2}.

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