Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=4 x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=4x^2e^x. O conteúdo principal aqui é a regra do produto, junto com a derivada de e^x, que é ela mesma.

Passo 2

Extraímos a constante e definimos
f(x)=4\,g(x), \quad g(x)=x^2e^x.
Como a derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada da função, segue que
f'(x)=4\,g'(x).

Passo 3

Para calcular g'(x), usamos a regra do produto em
g(x)=u(x)\,v(x),
onde u(x)=x^2 e v(x)=e^x. Calculamos
u'(x)=2x, \quad v'(x)=e^x,
então
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2x\,e^x + x^2\,e^x =e^x\,(2x + x^2).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=4\,g'(x), obtemos
f'(x)=4\,e^x\,(x^2+2x).
Para deixar em forma fatorada, basta extrair x:
f'(x)=4x\,e^x\,(x+2).

Resposta

\,4x\,e^x\,(x+2)

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