Uma partícula que procura o calor está localizada no ponto (2,3) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y)=10-8 x^{2}-2 y^{2}. Determine uma equação para a trajetória da particula se ela mover-se continuamente na direção do aumento máximo da temperatura.

Passo 1

O enunciado dá o campo de temperatura
T(x,y)=10-8x^{2}-2y^{2}
e diz que a partícula se move na direção de máximo aumento de T, isto é, na direção do gradiente \nabla T. Precisamos achar a equação da curva que a partícula descreve (“linha de fluxo” de \nabla T), usando que a inclinação da trajetória satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{T_{y}}{T_{x}}.

Passo 2

Calculemos o gradiente de T. As derivadas parciais são
T_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(10-8x^{2}-2y^{2})=-16x,
T_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(10-8x^{2}-2y^{2})=-4y.

Passo 3

Como o movimento segue \nabla T=(T_{x},T_{y}), a inclinação da trajetória é
\frac{dy}{dx}=\frac{T_{y}}{T_{x}} =\frac{-4y}{-16x} =\frac{y}{4x}.

Passo 4

Separe variáveis e integre:
\int \frac{1}{y}\,dy =\int \frac{1}{4x}\,dx.
Isto dá
\ln|y|=\tfrac14\ln|x|+C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=\ln\bigl|x^{1/4}\bigr|+C_{1} \quad\Longrightarrow\quad y=C\,x^{1/4},
onde C=e^{C_{1}} é constante.

Passo 5

Impondo a condição inicial (x,y)=(2,3), temos
3=C\cdot 2^{1/4} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{3}{2^{1/4}}.
Logo a trajetória específica é
y=\frac{3}{2^{1/4}}\,x^{1/4}.

Resposta

y=\frac{3}{2^{1/4}}\,x^{1/4},
ou, equivalentemente,
y^{4}=\frac{81}{2}\,x.

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