Uma partícula que procura o calor está localizada no ponto (2,3) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y)=10-8 x^{2}-2 y^{2}. Determine uma equação para a trajetória da particula se ela mover-se continuamente na direção do aumento máximo da temperatura.
Passo 1
O enunciado dá o campo de temperatura
T(x,y)=10-8x^{2}-2y^{2}
e diz que a partícula se move na direção de máximo aumento de T, isto é, na direção do gradiente \nabla T. Precisamos achar a equação da curva que a partícula descreve (“linha de fluxo” de \nabla T), usando que a inclinação da trajetória satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{T_{y}}{T_{x}}.
Passo 2
Calculemos o gradiente de T. As derivadas parciais são