Determinara o período e fazer a serie de Fourier das seguintes funções
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}-t, & -2 \leq t<0 \\\ t, & 0 \leq t<2,\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função periódica f(t) por
f(t)= \begin{cases} -t, & -2 \le t<0,\\\ t, & 0 \le t<2, \end{cases}
e pede o período e a série de Fourier. O conteúdo aqui é séries de Fourier de funções periódicas, explorando paridade (para eliminar os senos) e cálculo dos coeficientes em cossenos.

Passo 2

Para determinar o período, notamos que a definição repete a cada intervalo de comprimento 4 (vai de -2 a 2). Logo, o período fundamental é T=4.

Passo 3

Verificamos a paridade de f. Para t>0, f(-t)=-(-t)=t=f(t). Portanto f é função par e na série de Fourier só aparecem termos em cosseno (coeficientes b_n=0).

Passo 4

O termo constante a_0 é dado por
a_0 = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\,dt = \frac{2}{4}\int_{0}^{2}t\,dt = \tfrac12\cdot \bigl[\tfrac{t^2}{2}\bigr]_{0}^{2} =1.

Passo 5

Os coeficientes em cosseno são
a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2}f(t)\cos\bigl(n\omega_0 t\bigr)\,dt \quad\text{com}\quad \omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}.
Então
a_n = \frac12\int_{0}^{2}t\cos\!\bigl(n\tfrac{\pi}{2}t\bigr)\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t, dv=\cos(\alpha t)\,dt, \alpha=n\pi/2, obtemos
\int_{0}^{2}t\cos(\alpha t)\,dt =\frac{1}{\alpha^2}\bigl(\cos(2\alpha)-1\bigr).
Substituindo \alpha=n\pi/2 e \cos(2\alpha)=\cos(n\pi)=(-1)^n, vem
a_n =\frac12\cdot\frac{1}{(n\pi/2)^2}\bigl((-1)^n-1\bigr) =\frac{2}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).

Passo 6

Como (-1)^n-1=0\) para \(n\) par e \(-2\) para \(n\) ímpar, resulta \[a_n = \begin{cases} 0, & n=2k,\\[6pt] -\dfrac{4}{(2k+1)^2\pi^2}, & n=2k+1. \end{cases}
E b_n=0\] para todo \(n. Portanto a série de Fourier é
f(t)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\bigl(n\omega_0 t\bigr) =\frac12 -\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} \cos\!\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{2}t\bigr).]

Resposta

Período T=4.
Série de Fourier:
f(t)=\frac12 -\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} \cos\!\Bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{2}t\Bigr).

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