Prove que
\int_{-\pi}^{\pi} \sin n t \sin m t d t=\left\{\begin{array}{ccc}0 & \text { se } & m \neq n \\\ \pi & \text { se } & m, n \geq 1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade das funções \sin nt e \sin mt no intervalo [-\pi,\pi], ou seja, calcular
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nt\,\sin mt\,dt
e verificar que esse valor é zero quando m\neq n e é \pi quando m=n\ge1. Vamos usar identidades trigonométricas e propriedades de integrais de cosseno.

Passo 2

Aplicamos a identidade produto-para-soma:
\sin nt\,\sin mt =\tfrac12\bigl[\cos\bigl((n-m)t\bigr)-\cos\bigl((n+m)t\bigr)\bigr].
Assim
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nt\,\sin mt\,dt =\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos\bigl((n-m)t\bigr)\,dt -\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos\bigl((n+m)t\bigr)\,dt.

Passo 3

Calculemos a integral geral
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kt)\,dt =\Bigl[\tfrac1k\sin(kt)\Bigr]_{-\pi}^{\pi} =\tfrac1k\bigl(\sin(k\pi)-\sin(-k\pi)\bigr).
Como k é inteiro, \sin(k\pi)=0, logo
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kt)\,dt=0 \quad\text{sempre que }k\neq0,
e se k=0 então \cos(0\,t)=1 e
\int_{-\pi}^{\pi}1\,dt=2\pi.

Passo 4

Voltemos ao caso original:
  • Se m\neq n, então n-m\neq0 e n+m\neq0. Logo ambas as integrais de cosseno valem zero e
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nt\,\sin mt\,dt =\tfrac12\bigl(0-0\bigr)=0.
  • Se m=n, então a primeira integral tem k=n-m=0 e vale 2\pi, e a segunda tem k=n+m=2n\neq0 e vale zero. Assim
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nt\,\sin nt\,dt =\tfrac12\bigl(2\pi-0\bigr)=\pi.

Resposta

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin nt\,\sin mt\,dt =\begin{cases} 0,&m\neq n,\\\ \pi,&m=n\ge1. \end{cases}

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