Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade das funções
e
no intervalo
, ou seja, calcular
e verificar que esse valor é zero quando
e é
quando
. Vamos usar identidades trigonométricas e propriedades de integrais de cosseno.
Passo 2
Aplicamos a identidade produto-para-soma:
Assim
Passo 3
Calculemos a integral geral
Como
é inteiro,
, logo
e se
então
e
Passo 4
Voltemos ao caso original:
- Se
, então e . Logo ambas as integrais de cosseno valem zero e
- Se
, então a primeira integral tem e vale , e a segunda tem e vale zero. Assim