\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}
Isso é um limite de uma função racional cujo numerador e denominador são polinômios. Para resolver, vamos verificar se a substituição direta dá uma indeterminação e, em caso positivo, usar fatoração (ou, alternativamente, a regra de L’Hôpital) para simplificar.

Passo 2

Testando a substituição direta, temos
x^{4}-1\Big|_{x=1}=1-1=0 \quad\text{e}\quad x^{3}-1\Big|_{x=1}=1-1=0,
logo aparece a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso indica que podemos fatorar os polinômios para simplificar a expressão.

Passo 3

Fatoramos cada polinômio usando a identidade a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}):
x^{4}-1=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+1\bigr),
x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão do limite, obtemos
\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} =\frac{(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}
e podemos cancelar o fator comum x-1 (válido para x\neq1), ficando
\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1}.

Passo 5

Agora a função simplificada é contínua em x=1, então basta substituir x=1:
\frac{1^{3}+1^{2}+1+1}{1^{2}+1+1} =\frac{1+1+1+1}{1+1+1} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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