Exprima a solução geral de cada uma das equaçőes seguintes como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
como série de potências em torno de
.
Conteúdo usado: método da série de potências, i.e.\ assumir
Conteúdo usado: método da série de potências, i.e.\ assumir
e determinar uma relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Assumimos
onde
. Substituindo em
dá
Logo, comparando coeficientes de
,
Passo 3
Dessa forma obtemos a relação de recorrência
Para encontrar uma solução particular
yp tomamos
a0=0 e
a1=0 . Então:
Portanto
com a convenção de produto vazio igual a
1 .
Passo 4
Para a solução da homogênea
y''-x^2y=0 basta usar
bn=0 na recorrência. Como
a2=a3=0 , escolhemos dois parâmetros livres
a0=C1 e
a1=C2 . Assim surgem duas séries independentes:
– Para
a0=C1 e
a1=0 :
– Para
a1=C2 e
a0=0 :
Passo 5
Juntando as partes, a solução geral da equação é
onde
y1 ,
y2 e
yp são as séries definidas acima.