Exprima a solução geral de cada uma das equaçőes seguintes como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime-x^2 y=6 x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - x^2,y = 6x
como série de potências em torno de x=0.
Conteúdo usado: método da série de potências, i.e.\ assumir
y=sumn=0^infty anx^n
e determinar uma relação de recorrência entre os an.

Passo 2

Assumimos
y=sumn=0^infty anx^n, y''=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2x^n, x^2y=sumn=2^infty an-2x^n =sumn=0^infty an-2x^n,
onde a-1=a-2=0. Substituindo em y''-x^2y=6x
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-an-2r]x^n =6,x
Logo, comparando coeficientes de x^n,
(n+2)(n+1)an+2-an-2 = 6,&n=1, 0,&nneq1

Passo 3

Dessa forma obtemos a relação de recorrência
an+2 =an-2+bn(n+2)(n+1), bn=6,&n=1,0,&caso contrário á
Para encontrar uma solução particular yp tomamos a0=0 e a1=0. Então:
a2=0, 6,a3-0=6implies a3=1, a4=a012=0, a5=a120=0, a6=a230=0,
a7=a37cdot6=142, a11=a711cdot10=14620, ;dots
Portanto
yp(x) =x^3+x^742+x^114620+cdots =sumk=0^inftyx^4k+3prodj=1^kl[(4j+3)(4j+2)r],
com a convenção de produto vazio igual a 1.

Passo 4

Para a solução da homogênea y''-x^2y=0 basta usar bn=0 na recorrência. Como a2=a3=0, escolhemos dois parâmetros livres a0=C1 e a1=C2. Assim surgem duas séries independentes:
– Para a0=C1 e a1=0:
a4=C112,; a8=C112cdot56,dots Longrightarrow y1(x) =sumk=0^inftyx^4kprodj=1^kl[(4j)(4j-1)r]
– Para a1=C2 e a0=0:
a5=C220,; a9=C220cdot72,dots Longrightarrow y2(x) =sumk=0^inftyx^4k+1prodj=1^kl[(4j+1)(4j)r]

Passo 5

Juntando as partes, a solução geral da equação é
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x) + yp(x),
onde y1, y2 e yp são as séries definidas acima.

Resposta

boxed y(x)=C1sumk=0^inftyx^4kprodj=1^kl[(4j)(4j-1)r] ;+; C2sumk=0^inftyx^4k+1prodj=1^kl[(4j+1)(4j)r] ;+; sumk=0^inftyx^4k+3prodj=1^kl[(4j+3)(4j+2)r]

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