PRIMEIRA PROVA - P1

Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas

Calcule a integral
integral x^2+46 x-48x^3+5 x^2-24 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular:
integral x^2+46x -48x^3+5x^2-24x , dx
Esse tipo de problema envolve frações parciais, que é uma técnica usada quando temos uma fração com polinômios no numerador e denominador. A ideia é separar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. O denominador é:
x^3 + 5x^2 - 24x
Vamos fatorar esse polinômio:
x^3 + 5x^2 - 24x = x(x^2 + 5x - 24)
Agora, vamos fatorar o polinômio de grau 2:
x^2 + 5x - 24 = (x + 8)(x - 3)
Então, o denominador fatorado fica:
x(x + 8)(x - 3)

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração inicial em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes A , B e C tais que:
x^2+46x -48x(x+8)(x-3) = Ax + Bx+8 + Cx-3

Passo 4

Para encontrar os valores de A , B e C , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x+8)(x-3) para eliminar as frações:
x^2 + 46x -48 = A(x+8)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+8)

Passo 5

Agora, podemos encontrar os valores de A , B e C substituindo valores estratégicos para x que simplificam a equação.
Para encontrar A :
Escolha x = 0 :
0^2 + 46(0) -48 = A(0+8)(0-3) + B(0)(0-3) + C(0)(0+8)
Simplificando:
-48 = A(8)(-3) Rightarrow -48 = -24A Rightarrow A = 2
Para encontrar B :
Escolha x = -8 :
(-8)^2 + 46(-8) -48 = A(-8+8)(-8-3) + B(-8)(-8-3) + C(-8)(-8+8)
Simplificando:
64 - 368 -48 = B(-8)(-11) Rightarrow -352 = 88B Rightarrow B = -4
Para encontrar C :
Escolha x = 3 :
3^2 + 46(3) -48 = A(3+8)(3-3) + B(3)(3-3) + C(3)(3+8)
Simplificando:
9 + 138 -48 = C(3)(11) Rightarrow 99 = 33C Rightarrow C = 3

Passo 6

Com os valores de A , B e C encontrados, podemos reescrever a fração inicial:
x^2+46x -48x(x+8)(x-3) = 2x + -4x+8 + 3x-3

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 2x - 4x+8 + 3x-3 ) dx = 2 integral 1x dx - 4 integral 1x+8 dx + 3 integral 1x-3 dx
A integral de 1u du é ln|u| + C , onde C é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra da integral:
2 ln|x| - 4 ln|x+8| + 3 ln|x-3| + C

Resposta

A integral vale:
2 ln|x| - 4 ln|x+8| + 3 ln|x-3| + C

Exercícios relacionados