PRIMEIRA PROVA - P1
Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas
Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular:
Esse tipo de problema envolve frações parciais, que é uma técnica usada quando temos uma fração com polinômios no numerador e denominador. A ideia é separar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. O denominador é:
Vamos fatorar esse polinômio:
Agora, vamos fatorar o polinômio de grau 2:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração inicial em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, podemos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores estratégicos para
que simplificam a equação.
Para encontrar
:
Escolha
:
Simplificando:
Para encontrar
:
Escolha
:
Simplificando:
Para encontrar
:
Escolha
:
Simplificando:
Passo 6
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos reescrever a fração inicial:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a regra da integral:
Resposta
A integral vale: